吴文俊“丝路精神”及其对中外数学交流研究的意义

纪志刚

（上海交通大学科学史与科学文化研究院,上海,200240）

“文化多样性”是当代人文科学的精神基旨,历史上不同文明之间数学文化的传播与交流是历史学、文化史、科学史等跨学科研究的重要课题。然而,由于“西方中心论”的文化偏见,数学发展中的东方传统,特别是中国古代数学对世界数学的贡献没有受到应有的重视。如美国数学史家M·克莱因在其著《古今数学思想》的“序言”中声称“为了不使资料漫无边际,我忽略了几种文化,例如中国的、日本的和玛雅的文化,因为他们的工作对于数学思想主流没有重大的影响。”①M·克莱因.古今数学思想（第一册）“序”[M].张理京,张锦炎译.上海：上海科学技术出版社,1979：V.但是,吴文俊院士则指出：

我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系,这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。《九章》与《刘注》是这一机械化体系的代表作,与公理化体系的欧几里得《几何原本》可谓东西辉映,在数学发展的历史长河中,数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长,交替成为数学发展中的主流。②李继闵.《九章算术》及其刘徽注研究（吴文俊序）[M].西安：陕西人民出版社,1990：V.

要消除“西方中心论”的偏见,阐明吴文俊院士关于东西方数学发展中“两种主流”的重大判断,需要用多维度的历史眼光审视西方近代数学产生的社会和文化背景,特别是应该深入考察历史上东西方数学知识的传播与交流。事实上,随着丝绸之路上的商品贸易与文化交流,古代印度和中国的数学知识也随之传入阿拉伯,进而西传欧洲。特别是从13世纪起,由于独特的地理位置,意大利在地中海文化圈中展示出蓬勃的活力。在与阿拉伯的商业贸易中,意大利人积极吸收东方的科学文明,正是东方的数学促使意大利的商人摆脱了笨拙的罗马算术系统,这一点在意大利数学家斐波那契的《计算之书》（1202）中表现得尤为突出。计算技术上的进步,加速了13世纪地中海商业革命的进程,进而推动了欧洲古典数学向算法化和代数化的转变。

因此,探讨沿丝绸之路东方数学的传播及其在中世纪欧洲的影响,对于揭示东方数学知识的创造和起源、数学文化的历史变迁、分析欧洲近代数学中的东方元素及其影响,无疑具有正本清源的历史价值。

一、东西方数学交流研究的历史回顾

自张骞“凿空西域”,丝绸之路上的商贸交流即绵延不绝,古代中国和印度的数学知识随之传入阿拉伯,进而西传欧洲。16世纪末,耶稣会士梯航东来,沿海上丝绸之路进入中国,带来了西方的数学知识。这样,沿丝绸之路数学知识的交流与传播,构成了东方与西方相遇的“历史的闭环”,同时也构成了“中国与西方的伟大相遇”（the Great Encounter of China and the West）。

在东西方交往的陆地丝绸之路与海洋丝绸之路上,不仅有丝绸玉器、陶瓷琉璃、香料药材,还有佛教、景教、摩尼教、伊斯兰教、儒家思想和道教方术。火药、指南针、造纸术和印刷术也是沿着丝绸之路传向西方。而对于中外数学文化交流来说,沿丝绸之路数学知识的传播与交流,一直为学者们所关注。

1925年,钱宝琮（1892—1974）著文《印度数学与中国算学之关系》,比较了中国数学与印度数学的若干关系,论述了佛教与中印数学的传授,值得注意的是,钱宝琮在论文开篇指出：

西算史论印度算史者,有谓印度算学除小部分传自希腊外,创造甚富。有谓印度算学大多取材于中国算学。持第一说者漠视中国算学与印度算学之关系。持第二说者对于中国算学又往往过事夸大,易启疑窦。皆未明中国算学之过也。③钱宝琮.印度算学与中国算学之关系[A].中国科学院自然科学史研究所.钱宝琮科学史论文选集[C].北京：科学出版社,1983：75-82.

1927年,钱宝琮发表《〈九章算术〉盈不足术流传欧洲考》,在“结论”部分,钱宝琮指出：

中国算学西传,为西域诸民族,及欧洲中古算学所采用者,其例甚多。盈不足术,特其显而易见者耳。但近人熟悉中国算学者少。撰世界算学史者,往往藐视中国算学之地位,以为中国僻处东亚,其算学传授,可以存而不论。兹编述盈不足术之世界史,以补西洋算书之缺憾。取《〈九章算术〉盈不足术流传欧洲考》为本篇题目者,将以引起读者之注意耳。④钱宝琮.《九章算术》盈不足术流传欧洲考[A].中国科学院自然科学史研究所.钱宝琮科学史论文选集[C].北京：科学出版社,1983：83-96.

李俨（1892—1963）也十分关注中外数学交流问题。相关文章有：《中算输入日本之经过》（1925）⑤李俨.中算输入日本之经过[A].李俨.中算史论丛（第五集）[C].北京：科学出版社,1955：168-186.、《明清之际西算输入中国年表》（1927）⑥李俨.明清之际西算输入中国年表[A].李俨.中算史论丛（第三集）[C].北京：科学出版社,1955：10-68.、《印度历算与中国历算之关系》（1934）⑦李俨.印度历算与中国历算之关系[A].学艺[J].1934（9）：57-75.、《伊斯兰教与中国历算之关系》（1941）⑧李俨.伊斯兰教与中国历算之关系[A].李俨.中算史论丛（第五集）[C].北京：科学出版社,1955：57-75.、《从中国算学史上看中朝文化交流》（1955）。⑨李俨.从中国算学史上看中朝文化交流[A].李俨.中算史论丛（第五集）[C].北京：科学出版社,1955：187-191.

在李俨所著《中国算学史》（1937）⑩李俨.中国算学史[M].北京：商务印书馆,1998（据1937年版影印）.和钱宝琮主编的《中国数学史》（1963）①钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社,1963.中均列有专章论述中外数学交流。

在西方学者的相关论述中,则以李约瑟（Joseph Needham,1900—1995）为代表。在其巨著《中国科学技术史》中,李约瑟专用一节来讨论中国传统数学与其他文明的“影响与交流”。李约瑟指出“关于在中国数学与旧大陆其他重要文化区的数学之间似乎发生过的接触,把我们收集到的资料放在一起也没有多少。……但是,当问到有什么数学概念似乎是从中国向南方和西方传播过去的时候,我们却发现有一张相当可观的清单。”②李约瑟.中国科学技术史（第三卷数学）[M].北京：科学出版社,1978：323-328.

兹将李约瑟“清单”内容简要概述如下：③李约瑟.中国科学技术史（第三卷数学）[M].北京：科学出版社,1978：323328.

1.十进位位值制与零 早在商代（公元前14世纪）中国人就使用了十进位位值制记数法。而印度则要到公元6世纪才放弃十倍记数的专门符号；而欧洲则要更晚。

2.开平方和开立方 在公元前1世纪,（《九章算术》中的）“开方法”就已有了高度发展。公元4世纪孙子开平方的方法和5世纪张邱建开立方的方法,同公元630年在梵藏（Brahmagupta）的著作中给出的法则非常相似。中国从贾宪幵始所用的求高次方根的方法,似乎曾影响了阿拉伯的卡西（15世纪）。这些先进方法的痕迹后来不久就在欧洲发现。

3.“今有术”与三率法 “三率法”,或称“三数算法”,此名称来自印度,但《九章算术》中就已出现,比任何一部梵文古籍都要早。

4.分数 所有中世纪印度数学家用竖行表示分数的方法,与汉代在筹算盘上所用的方法相同。

5.负数 最早出现在中国（公元前1世纪）的负数,在印度直到梵藏的时代（630）才得到运用。

6.勾股定理的证明 在公元3世纪赵君卿的《周髀算经注》中给出了毕达哥拉斯定理的“弦图”证明,而在公元12世纪,巴斯卡拉（BhaskaraⅡ）丝毫不差地再次给出这个证明。

7.几何测量 在《九章算术》及3世纪刘徽的注释中出现的几何测量问题,后来在9世纪大雄（Mahavira）的著作中再次出现。

8.弓形面积 大雄重复了《九章算术》关于求弓形面积的方法,而且中国的弓形面积的错误公式,恰好也在印度的著述中重现。

9.用代数法求解几何问题 一千多年来,中国数学家一直深刻地认识到代数关系式与几何关系式基本上是一致的,而在别的国家,这种一致性到了9世纪才第一次由波斯数学家花拉子米加以阐明,虽然除了花拉子米曾出使可萨以外,没有其他正式的证据说明他受到中国人的影响,但从逻辑上和地理环境来看,认为有这种影响大概也不是不合理的。

10.双假设法,即盈不足术 《九章算术》中的双假设法在公元13世纪以Regula Elchataym为名出现在意大利,这个名称说明它是阿拉伯人传播过去的。阿拉伯人可能是从印度学到这种方法的,④查考印度数学史相关著作,并无“双假设法”的记载。参见杜石然.试论宋元时期中国与伊斯兰国家间的数学交流[A]//钱宝琮等.宋元数学史论文集[C].北京：科学出版社,1966：241-265.但中国很可能是它的发源地。

11.不定分析 不定分析首先是在《孙子算经》（4世纪）开始的,然后才出现在圣使（5世纪末）和梵藏（7世纪）的著作中。这一数学方法通过阿拉伯人和印度人的介绍传给14世纪拜占庭僧人阿吉罗斯。丢番图（3世纪末）所提出的问题和方法则与《孙子算经》颇为不同。

12.不定方程 《张邱建算经》中的“百鸡问题”是最早的不定方程的问题,随后以几乎完全相同的形式在大雄（9世纪）和巴斯卡拉（12世纪）的著作中出现。

13.高次数字方程 王孝通（7世纪）成功地解决了三次数字方程。在宋末（12和13世纪）,中国代数学家已经特别善于处理高次数字方程。在欧洲,斐波那契（13世纪）是第一个提出三次方程解法的人,可以认为,这一方法有着东亚影响。

14.二项式系数表 中国在公元1100年左右就已经知道二项式系数的帕斯卡三角形。大致在同一时期,在波斯,由于接触到印度的开方法,似乎也产生了帕斯卡三角形,而印度开方法本身大半应归功于早期中国的著作。稍后,这种三角形传入欧洲,大约公元1527年公开发表。

但是,李约瑟的这份“清单”并没有得到学界的一致赞同。法国学者马若安（J-C.Martzloff）指出李约瑟的论证因其“年代学”和“方法论”的不严密而颇受争议,并提出以下质疑：比如,第9条中的“代数与几何的关系”究竟指代何意？难道是指依据几何图形推导出某种代数公式吗？而巴比伦数学家中对这一方法使用要远远早于中国。再如,第14条中的“帕斯卡三角形”的形式如何？用处何在？它是印度数学家用于求解组合问题,还是中国数学家用于求解开方问题？或者是像帕斯卡那样去计算概率？马若安还指出“三率法”在埃及的“莱茵德纸草书”（the Rhind papyrus）中就已经被使用；中国古代的负数概念与印度的负数概念亦不尽相同；“弓形面积的近似公式”罗马的测量员们也在用,而且海伦的书中还称之“此为古法”；巴比伦数学中对毕达哥拉斯定理的认识比中国更要古老等。⑤Martzloff,J-C.,A History of Chinese Mathematics[M].Berlin：Springer-Verlag,1997：91,93,94122.

马若安对李约瑟“清单”的质疑,并不是否认中外数学交流的存在及其意义。马若安指出：

然而,有关数学知识传播问题的回答并不令人满意,并不是说这一问题并未产生,更不意味着这一问题并不重要。只要这一问题继续存在,中国科学思想的起源就难以给出清晰的判断。无论如何,可以确定地说,在不同的历史时期,中国通过陆路和海路都保持着与外界的接触。⑥Martzloff,J-C.,A History of Chinese Mathematics[M].Berlin：Springer-Verlag,1997：91,93,94122.

所以,马若安在自己的书中也设立专章“影响与传播”,视野所及比李约瑟还要广泛。马若安讨论的问题有：中国与塞琉古（Seleucids）的可能接触；中国与印度的数学交流；中国与伊斯兰国家间的数学交流；中国数学在朝鲜与日本的传播；中国与蒙古的接触；中国与西藏的数学交流；中国与越南的数学交流；中国与欧洲的数学交流。⑦Martzloff,J-C.,A History of Chinese Mathematics[M].Berlin：Springer-Verlag,1997：91,93,94122.

二、吴文俊“数学与天文丝路基金”的创立与影响

自李俨、钱宝琮之后,国内有关中外数学交流的论文所见甚少。1956年,沈康身发表《中国古算题的世界意义》,⑧沈康身.中国古算题的世界意义[J].数学通报,1956（6）：1-5.后又发表《中国与印度在数学发展中的平行性》。⑨沈康身.中国与印度在数学发展中的平行性[A].//吴文俊.中国数学史论文集[C].济南：山东教育出版社,1985：67-97.1957年,严敦杰发表了《阿拉伯数字传到中国来的历史》,⑩严敦杰.阿拉伯数码传到中国来的历史[J].数学通报,1957（10）：1-4.1966年,杜石然发表《试论宋元时期中国与伊斯兰国家间的数学交流》,①杜石然.试论宋元时期中国与伊斯兰国家间的数学交流[M].//钱宝琮等.宋元数学史论文集[C].北京：科学出版社,1966：241-265.1984年发表《再论中国和阿拉伯国家的数学交流》。②杜石然.再论中国与阿拉伯国家的数学交流[J].自然科学史研究,1984（4）：299-303.

历史的转折点出现在2002年。国际数学家大会在北京召开,作为大会主席,吴文俊院士在开幕式上的致辞中指出：

现代数学有着不同文明的历史渊源。古代中国的数学活动可以追溯到很早以前。中国古代数学家的主要探索是解决以方程式表达的数学问题。以此为线索,他们在十进位值制记数法、负数和无理数及解方程式的不同技巧方面做出了贡献。可以说中国古代的数学家们通过“丝绸之路”与中亚甚至欧洲的同行们进行了活跃的知识交流。今天我们有了铁路、飞机甚至信息高速公路,交往早已不再借助“丝绸之路”,然而“丝绸之路”的精神——知识交流与文化融合应当继续得到很好的发扬。③Wu,W.T.,Proceedings of International Congress of Mathematicians[M].Vol.I.Beijing：Higher Education Press,2002：21-22.李文林.丝绸之路数学名著译丛.北京：科学出版社,2008：iii.

事实上,为了探寻东西方数学知识的传播与交流,在北京国际数学家大会召开的前一年,吴文俊院士从他荣获的国家最高科技奖奖金中先后拨出100万元人民币建立了“数学与天文丝路基金”,用于促进并资助有关古代中国与亚洲各国,乃至欧洲的数学与天文交流的研究。

作为一位具有战略眼光的著名数学家,吴文俊院士对中外数学交流早就十分关注。1984年7月,教育部在北京师范大学举办全国高等院校中外数学史讲习班。吴先生应邀在开幕式上致辞,正是在这篇讲话里,吴先生呼吁数学史界要展开中外数学交流的研究工作。吴先生说道：

更重要的一步是弄清楚东、西方数学的关系。东方数学和西方数学,正像斯特洛伊克那本书里讲的是明显不同的两个体系,有不同的思想在里面。要说那么长的岁月里没有交流嘛,这是不可想象的。当然不是像“欧洲中心论”和“西方至上论”的那些学者讲的,东方的东西是从西方传过来的。这是荒谬的。我们应该作为历史问题来考虑,应该实事求是,从我们掌握的资料来追查当时东方、西方学术上的交流是怎样的。一般来说总是文化高的地区流向文化低的。……十二、十三世纪,他们甚至连加法都认为是学术上很难的东西,数学教科书上讲加法就很不错了。像这样落后的状况,你却说东方的文化不流向西方,而是西方的反而流到东方,这合理吗？当然这是从“情理”方面来讲的,推测应该是这样的,查无实据。这个实据,我想应该是存在的,等待地下资料的发掘,这个发掘既需时日,也靠不住。我们不能把希望完全寄托在这上面。事实上,我相信在现有的资料里面,在我们大家所能看到的能掌握的资料里,就可以分析出东方、西方交流的情况。这是要下功夫的事。④吴文俊.在教育部主办的全国高校中外数学史讲习班开学典礼上的讲话[A].//中国数学史论文集（二）[C].济南：山东教育出版社,1986：3-7.

在讲话的最后,吴先生戏言这些想法是他一个人的“狂想”。我们看到,这一“狂想曲”在吴先生的胸怀里激荡了整整18年,在他获得国家科学技术大奖之后,立刻付诸实施。

为了具体实施“吴文俊数学与天文丝路基金”的宗旨与计划,根据吴文俊院士本人的提议,成立了由有关专家组成的学术领导小组。已支持的研究项目有（括号内为课题组负责人）：

1.中亚地区数学天文史料考察研究（新疆大学：依里哈木、阿米尔）；

2.斐波那契《计算之书》的翻译与研究（上海交通大学：纪志刚）；

3.中世纪中国数学与阿拉伯数学的比较与交流研究（辽宁师范大学：杜瑞芝）；

4.中国朝鲜数学交流史研究（内蒙古师范大学：郭世荣）；

5.中国数学典籍在日本的流传与影响研究（清华大学：冯立昇）；

6.中国传统数学传播日本的史迹调研（天津师范大学：徐泽林）。

作为“吴文俊数学与天文丝路基金”资助项目部分研究成果的《丝绸之路数学名著译丛》,首批5种译著已经出版,它们分别是：

1.阿尔·花拉子米：《算法与代数学》⑤[阿拉伯]阿尔·花拉子米.算法与代数学[M].依里哈木·玉素甫,武修文编译.北京：科学出版社,2008.徐泽林.和算选粹补编[M].北京：科学技术出版社,2009.

2.阿尔·卡西：《算术之钥》⑥[伊朗]阿尔·卡西.算术之钥[M].依里哈木·玉素甫译注.北京：科学出版社,2016.徐泽林.和算中源——和算算法及其中算源流[M].上海：上海交通大学,2012.

3.斐波那契：《计算之书》⑦[意]斐波那契.计算之书[M].[美]劳伦斯·西格尔英译,纪志刚等译.北京：科学出版社,2008.萨日娜.东西方数学文明的碰撞与交融[M].上海：上海交通大学出版社,2016.

4.婆什迦罗：《莉拉沃蒂》⑧[印]婆什迦罗.莉拉沃蒂[M].[日]林隆夫译注,徐泽林等译.北京：科学出版社,2008.[日]小林龙彦.德川日本对汉译西洋历算书的受容[M].上海：上海交通大学出版社,2017.

5.关孝和等：《和算选粹》⑨徐泽林译注.和算选粹[M].北京：科学出版社,2008.郭园园.阿拉伯代数学研究[M].上海：上海交通大学出版社,2017.

上述五种著作,都是数学史上久负盛名的经典,是丝绸之路上主要文明的数学珍宝。“吴文俊数学与天文丝路基金”顺利展开,卓有成效,极大地推动了东西方数学知识传播与交流的深入进行。⑩郭世荣.“吴文俊数学与天文丝路基金”与数学史研究[J].广西民族学院学报（自然科学版）,2004（4）：6-11.吴文俊.在教育部主办的而全国高校中外数学史讲习班开学典礼上的讲话[A].//中国数学史论文集（二）[C].济南：山东教育出版社,1986：6-7.

近年来,李文林主编《比较数学史丛书》中的四部著作（郭世荣《中国数学典籍在朝鲜半岛的流传与影响》①郭世荣.中国数学典籍在朝鲜半岛的流传与影响[M].济南：山东教育出版社,2009.、冯立昇《中日数学交流史》②冯立昇.中日数学交流史[M].济南：山东教育出版社,2009.、邓可卉《希腊数理天文学溯源——托勒玫〈至大论〉比较研究》③邓可卉.希腊数理天文学溯源——托勒玫《至大论》比较研究[M].济南：山东教育出版社,2009.、包芳勋《阿拉伯数学的兴衰》④包芳勋,孙庆华.阿拉伯数学的兴衰[M].济南：山东教育出版社,2009.）,以及徐泽林《和算选粹补编》⑤、《和算中源——和算算法及其中算源流》⑥、萨日娜《东西方数学文明的碰撞与交融》⑦、小林龙彦《德川日本对汉译西洋历算书的受容》⑧、郭园园《阿尔·卡西代数学研究》⑨都是中外数学交流研究的重要成果。

三、中外数学交流研究的新征程

吴文俊院士在“中外数学史讲习班”上的讲话,不仅强调了探讨中外数学知识交流的重要性,同时也指明了研究方向和实践途径。即：原典分析和语言学习。

吴文俊院士指出：

事实上,我相信在现有的资料里面,在我们大家所能看到、能掌握的资料里,就可以分析出东方、西方交流的情况。这是要下功夫的事！这不光要看数学资料,还要看其他的资料。……要从第一手材料里来,不能从第二手、第三手的材料中来。……要看第一手资料,就要过文字关。少说一点,是希腊文、拉丁文啰。而你要真正弄清楚东、西方交流的情况,你就得掌握阿拉伯文、波斯文,懂得土耳其文……⑩郭世荣.“吴文俊数学与天文丝路基金”与数学史研究[J].广西民族学院学报（自然科学版）,2004（4）：6-11.吴文俊.在教育部主办的而全国高校中外数学史讲习班开学典礼上的讲话[A].//中国数学史论文集（二）[C].济南：山东教育出版社,1986：6-7.

吴文俊院士希冀：

应该使下一代把这个任务担当起来。要彻底把东、西方数学交流的问题弄清楚。这是能够做到的！①吴文俊.在教育部主办的而全国高校中外数学史讲习班开学典礼上的讲话[A].//中国数学史论文集（二）[C].济南：山东教育出版社,1986：6-7.

毫无疑问,这是吴文俊院士为“中外数学交流研究”吹响的冲锋号角。

2002年,笔者参与“吴文俊数学与天文丝路基金”工程,承担13世纪意大利数学家斐波那契《计算之书》的翻译与研究,同时开始组织研究生学习拉丁语,并培养了两位通晓阿拉伯语和梵语的年轻学者。他们已经在中阿、中印数学交流研究中做出了显著成绩,②郭园园在“吴文俊数学与天文丝路基金”支持下学习阿拉伯语,2013年获上海交通大学博士学位,现任中国科学院自然科学史研究所副研究员,主要从事阿拉伯数学史研究工作。吕鹏,2010年获上海交通大学科学技术史专业硕士学位,同年获国家留学基金委公派博士生项目资助赴日本京都大学攻读博士学位,2017年获京都大学印度古典学博士学位,现为上海交通大学科学史与科学文化研究院博士后研究人员。研究方向为印度数学与天文学史。形成了“国内第一个专长于东西数学传播与交流研究的团队”③参见李文林为《东方数学选粹》撰写的“序言”.[美]维克多·卡兹主编,纪志刚等译.东方数学选粹：埃及、美索不达米亚、中国、印度与伊斯兰[M].上海：上海交通大学出版社,2016（中译本序）：4.。

2012年起,笔者主持教育部人文社科基金项目《沿丝绸之路数学知识的传播与交流》。项目设定的目标是：探讨东方数学知识沿丝绸之路传播与交流的途径,比较不同文明数学知识创造特点、文化特色及其社会作用。分析东方传统数学在促进中世纪欧洲数学的算术化和算法化转变中发挥的作用,为吴文俊院士关于东西方两种数学传统“交替成为世界数学发展中的主流”的判断提供原始材料、整体视角和实证分析。解释西学东渐背景下,西方数学知识在明末清初的翻译、传播与影响。

遵循吴文俊院士的指引,项目研究的首要任务是研读原典文献,主要是以中国古代著名数学典籍（如《九章算术》《孙子算经》《张邱建算经》《数述记遗》《数书九章》《详解九章算法》《算法统宗》等）为基点,同时考察若干部印度、阿拉伯和中世纪欧洲数学典籍,如印度：婆什迦罗《阿耶波多历算书注释》（7世纪）、婆什迦罗Ⅱ《莉拉沃蒂》（12世纪）；阿拉伯：花拉子米《算法和代数学》（9世纪）、阿布·卡米尔《代数》（10世纪）、阿尔·卡西《算术之钥》（14世纪）；中世纪欧洲：斐波那契《计算之书》（意大利,1202）和克拉维乌斯《实用算术概要》（德国,1583）；进而将研究视野拓展到晚明以来西方数学典籍的翻译与转播,如《几何原本》《同文算指》《欧罗巴西镜录》等,从而在一个更广阔的文明背景下,揭示东西方数学知识相互交流与文化融合。

主要成果简介如下：④以下内容参见纪志刚,郭园园,吕鹏.西去东来：沿丝绸之路数学知识的传播与交流[M].南京：江苏人民出版社,2018：386-393.

（一）中国传统数学的世界意义 作为东方数学的代表之作,《九章算术》中并不是一道道枯燥的算题,这些算题之中有国家的典章制度,也有普罗大众的风俗民情。这些算题承载的各种算法,则更是中国传统数学的精华所在。正因如此,刘徽发下宏愿“观阴阳之割裂,总算术之根源”“采其所见,为之作注”“以阐世术之美”。⑤刘徽.九章算术注原序[A].//钱宝琮校点.算经十书（上册）[M].北京：中华书局,1963：91-92.中国传统数学的“世术之美”还表现在那些交口相传的趣味算题,《孙子算经》中的“物不知数”题（下文简称“孙子问题”）与《张邱建算经》中的“百鸡问题”便是两道经典问题,也正是这两道问题在中外数学交流史上的重要意义。

对于中外数学交流的历史来说,“孙子问题”描绘出了一条绵远不断的历史主线。首先是1202年意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonaci,1170—1250）的《计算之书》（Liber Abaci）中记载了与“孙子问题”完全一致的算题,并且称这是“占卜猜数之类的上乘大法”。大约14世纪晚期,尼克马朱斯（Nichomachus of Gerasa）的《理论算术》（Eisagoge Arithmetike）,书后附有一道与“孙子问题”几乎完全相同的算题。显然是受到了斐波那契的影响。同样16世纪的哥廷根抄本对模数两两互素的同余问题给出了完整的求解方法,19世纪德国的“慕尼黑抄本”也记载了与斐波那契完全相同的同余问题。值得注意的是,18世纪的欧拉（Euler）与19世纪的高斯（Gauss）也对同余问题表示了极大兴趣,这足以说明“孙子问题”在中外数学文化交流史的隽永魅力和巨大意义。

《张邱建算经》记载的“百鸡问题”是世界数学史上的第一道“不定分析”问题,引起了后世算家的极大兴趣,广泛流传民间,为众多算书所收录。但由于其解算方法语焉不详,后世算家多方探究,至晚清方粲然大备。

“百鸡问题”在世界上流传很广泛,英国阿尔昆（Alcuin,735—804）、印度摩诃毗罗（Mahavira,9世纪）、婆什伽罗（Bhaskara,1114—1185）、意大利斐波那契,阿拉伯的阿尔·卡西（al-Kaschi,？—1436）以及德国雷基奥蒙坦（Johannes Regiomontanus,1436—1476）的著作中均有类似问题。“百鸡问题”在不同文明中的多样表现形式和不同的计算方法,揭示出跨文化数学知识传播与交流的复杂性。

（二）印度古代数学及其与中算的若干比较 对于印度数学史领域,除了二三十年前钱宝琮、梁宗巨、沈康身等前辈依靠英文资料做过通史性介绍和初步的研究之外,尚无基于原典之上的全面系统研究。本项研究则立足于梵语数学文献的研读,辅以世界近年来最前沿的研究成果,在以下几个方面获得了突破：

1.清楚梳理了从公元前2世纪到公元10世纪左右的印度数学通史。其中从印度最古老的文献《吠陀》、吠陀辅助学《竖地沙论》和《绳法经》、耆那教经典,到《阿耶波多历算书》《婆罗摩笈多修正体系》等中世文献中的数学内容做了翻译、介绍和分析,这为今后印度数学史的继续研究奠定了文献基础。

2.深入详细地阐明了印度数系理论的历史发展。对记数法、数词、数字和笔算的发展演变作了基于原始文献的确认,对于零、负数和无理数则不仅作了追根溯源,明确了印度人所达到的成就高度,还论述了它们的产生均是印度数学内部发展需求的必然结果：记数法、代数学→零,三平方定理→无理数,代数学→负数。最后还将之与中算作对比,指出了一些相同相异的地方。

3.将印度古典数学内容与《九章算术》等中算文献作了算法和算理上的全面比较。特别是在比较中将史料分为“一般算法”（包括勾股、比例算法、几何计算、圆周率等）和“典型问题”（如坑渠谷堆问题、折竹适地莲花入水问题等）进行比较。这是由于数学知识具有抽象和普世的特点,因此比起一般的表面上的比较,对于算理、设问表达、情景设置上的分析比较更能体现出传播的可能性。通过这种方法,中印数学中存在的许多瞩目的异同点首次被发现,为今后更加深入的研究打下了基础。

4.通过研读梵语文献清楚地给出了印度“库塔卡”的发生发展及其具体的解题过程。在此之上还用现代数学方法给予了完整的证明,完善了其与中算“大衍求一术”的平行性证明。

5.首次介绍了耆那教数学中的无穷观念,包括对于“无穷数”的分类和8世纪韦拉瑟那计算圆台体积时的方法。

（三）阿拉伯代数学的溯源与演进 中世纪的伊斯兰文明在世界文明史上起着融会中西、贯穿古今的重要作用。近些年来,随着大量新阿拉伯数学文献的发掘与整理,人们逐渐意识到阿拉伯数学家们在直接继承希腊和印度数学文明的基础上,在代数学、几何学和三角学等领域均取得了大量开创性的成就,其中部分数学成果伴随着文艺复兴的进程传入欧洲,为近代数学的产生和发展奠定了基础,而绝非仅仅是对希腊数学起到“保存”的作用。然而,由于语言和史料等的客观困难,长久以来中国学者需要通过欧美学者的研究来了解阿拉伯数学史（即吴文俊院士批评的“第二手、第三手”材料）。由于“西方中心论”的长期影响,尤其是在大量的欧美学者所著的世界通史著作中,他们过分强调“希腊—欧洲”这一世界数学的主要演化脉络,对以中国、印度为代表的东方数学传统轻描淡写,甚至只字不提。而把中世纪伊斯兰数学降格为保存希腊数学火种的作用。

本项研究选取伊斯兰代数学中最有文化特色“代数学”作为切入点,对其主要的演化脉络进行梳理,研究工作主要表现在：

1.研究涉及所有的伊斯兰代数学内容,均是基于阿拉伯文献的直接解读,从而提高了整体研究的学术价值；

2.对一些关键的数学家例如萨玛瓦尔、萨拉夫·丁·图西和阿尔·卡西等人的相关数学工作进行了深入细致的研究,提出了许多独到的观点,并对整体代数学的演化脉络有了新的认识和把握。这些工作无论是对今后伊斯兰数学的进一步研究,还是对相关内容的跨文明比较研究都将是非常重要。

（四）《计算之书》中的东方数学 斐波那契是中世纪晚期（1200—1425）欧洲第一位伟大的数学家,他的《计算之书》是欧洲数学复兴的标志。《计算之书》的数学内容基本上遵循“题例—术文—练习”的行文模式,很多题目是他在旅行过程中从阿拉伯地区中学习所得。更重要的是,斐波那契在消化吸收东西方数学的同时开始了自己的创新,欧几里得《几何原本》对《计算之书》有很深的影响,但《计算之书》则具有以问题为主导,以算法为主线,以问题解决为主旨“东方式”数学的突出风格,《计算之书》被誉为是埃及—希腊数学与印度—中国—阿拉伯数学的综合体,是欧洲数学算法化进程中一部重要著作。

美国数学史家卡平斯基（L.C.Karpinski,1878—1956）在《算术史》（The History of Arithmetic）中说“在欧洲,1202年斐波那契的巨著中所出现的许多算术问题,其东方源泉不容

否认”。⑥Karpinski,I.C..The History of Arithmetic（reversed edition）[M].New York：Russell&Russell INC,1965：30.通过对《计算之书》的全篇搜览,整理出与中国传统数学相近的算题、算法14余条,特别考证了《计算之书》中的“双假设法”（elchataym）就是中国古代的“盈不足术”,并考察了这一算法在阿拉伯世界的来源,从而补上“双假设法”在跨文明传播过程中缺失的环节。《计算之书》中有关algebra的问题与算法来自杰拉德（Gerard）翻译的花拉子米《代数学》以及凯拉吉的《奇妙之事》,在欧洲传播阿拉伯代数过程中起到了非常重要的作用。

这里特别指出,《计算之书》开篇介绍了“关于九个印度数字的认识,和如何用这些数字书写所用的数”。值得注意的是,在第一章的最后出现了从“2乘以2等于4”,到“10乘以10等于100”的乘法表。而这正是东方传统,或者说中国传统。中国的“九九口诀表”,在先秦以来就广为传诵。当我们强调“印度—阿拉伯数字符号”的世界意义的时候,也不容忽视计算口诀的价值。从某种意义上来说,正是“计算口诀”的熟练应用,促进了印度—阿拉伯数字在欧洲的使用与普及。

（五）历史的闭环:明清之际西方数学的传入与影响 1607年,利玛窦和徐光启合作完成了欧几里得《原本》（前六卷）的翻译,汉译《几何原本》重构了古典西方数学的逻辑推理体系,在中西文化交流史上具有重要意义。《几何原本》不仅是一种新知识、新学科,更重要的是《几何原本》带来了崭新的数学思维方式,引发种种数学观念的变化,由此折射出两种异质文化交流与碰撞的历史进程,在中国数学思想史上具有重要意义。

《同文算指》首页题名下记有“利玛窦授、李之藻演”,这就说明《同文算指》并不是一部简单的翻译之书,李之藻在“序言”中称“通编稍演其例,以通俚俗。间取《九章》补缀,而卒不出原书之范围”。研究表明,李之藻并非只取《九章算术》,也更不是“卒不出原书之范围”,而是萃取所见晚明传统数学的经典之作,“补辍”的章节大大超越了原书的内容,这些拓展的内容不仅有同时代西方知名学者的数学著作,而且还收录了盈不足术、方程术、正负术、高次方程的数值解法等中国传统数学的精华部分。特别需要指出的是,《同文算指》将拉丁语底本《实用算术概要》中的“三率法”翻译为“借衰互徵”,而把“双假设法”翻译为“叠借互征”,这些曾经沿着“丝绸之路”经阿拉伯向西方世界传播的东方数学知识,又随着耶稣会士的东来航船回到故乡,从而为中外数学知识的传播与交流连起一个“历史的闭环”。⑦Chemla,K.Reflections on the World-wide History of the Rule of Fales Double Position[J].Centarus,Vol.139（1997）：99-120.

《欧罗巴西镜录》是一部未曾刊刻抄本,然而,这部佚名之作则折射了西方数学在中国的吉光片羽,特别是晚清数学大师梅文鼎留下亲笔批注,后为李锐购于书肆,焦循手抄副本存留今日。本篇通过分析梅文鼎对《欧罗巴西镜录》的注解,考察梅氏同期著作《少广拾遗》《笔算》,讨论梅氏著作与《欧罗巴西镜录》之间的关系。从而揭示梅文鼎对西方数学知识的认识过程,同时也让我们进一步认识西方笔算知识对中国传统数学演变的作用和价值。

如果说1984年吴文俊院士在“中外数学史讲习班”上的讲话,对探讨中外数学交流的关注点尚集中于“把东、西方数学交流的问题弄清楚”,而在2002年国际数学大会上的致辞中,吴文俊院士则把东西方数学交流的意义升华到“丝绸之路的精神”,即“知识交流与文化融合”。

践行吴文俊院士倡导的“丝路精神”,积极推进中外数学知识的交流,就应该扎实开展沿丝绸之路各文明数学典籍的考据性研读,通过史料比照,整理出东西方相近的数学概念、数学问题与数学方法,确定其交流的时间节点和传播的社会背景；要注重梳理数学知识、算法用语、典型算法,对若干典型的算题与算法（如分数算法、比率算法、盈不足术、百鸡术、物不知数、不定分析等）,进行算理结构解剖与分析,从而奠定研究工作的文献基础,特别是通过对梵语、阿拉伯语和拉丁语的学习和相应的原始文献研究,实现从第一手资料获得研究结果的重要突破。我们也必须清醒地认识到“就数学史而言,学习掌握有关文明的语言,直接攻读原始文献,是研究外国数学史的必由之路,也是通向突破性成果的阳关大道”。⑧[美]维克多·卡兹主编,纪志刚等译.东方数学选粹：埃及、美索不达米亚、中国、印度与伊斯兰[M].上海：上海交通大学出版社,2016（中译本序）：4.

弘扬吴文俊院士倡导的“丝路精神”,积极拓展中外数学文化的融合,就应该在扎实的文献研究基础上,结合社会文化背景,对重要算题、算理和算法,探本溯源、察疑发微；既注意“相似性问题”的地域特点,又避免“相似即同源”的片面影响,特别注意分析算法内涵与文化背景的相互关系；既认真吸收前人成果,又不迷信专家权威；既努力探寻历史上中国古代数学在欧洲传播的史实,而又不受囿于狭隘“民族主义”的制约。力求客观地展示中国古代数学与印度、阿拉伯的关系,以及在中世纪欧洲的传播,求实地分析沿丝绸之路不同文明之间数学文化的相互交流,探讨西方数学知识对中国传统数学和近代社会产生的历史影响。

今日,沙漠中的驼队早已渐行渐远,海上的白帆也化为万吨巨轮。然而,“丝路精神”则从历史深处回荡出了千年梦想,承载着重构人类命运共同体的历史使命。古老的丝绸之路见证了陆上“使者相望于道,商旅不绝于途”的盛况,也见证了海上“舶交海中,不知其数”的繁华。古老的丝绸之路不仅是一条通商易货之道,更是一条知识交流之路。更为重要的是,商品和知识交流带来了观念的变革与思想的创新。在这当中,也包含着数学的知识、概念与方法：“印度—阿拉伯数码”已成为整个人类共同的文化遗产；阿拉伯的“还原与对消计算”（al-jabr wal-muqābala）演变成今日的Algebra；欧几里得《原本》也随传教士们的航船东来,演变成“几何之学”,从而进入中国“寻常百姓家”；更重要的是源自东方的十进位位值制已经成为繁茂参天的数学之树的扎实根基。