关于二阶导数的级数敛散性问题

吴亚玲　廖春艳

[摘           要]  级数敛散性的判定是数学分析课程中的重要内容和教学难点，通过实例讨论函数满足二阶导数且通项中带f（）形式的一类级数的敛散性判定.

[关    键   词]  二阶导数;级数;敛散性

[中图分类号]  G642                       [文献标志码]  A                [文章编号]  2096-0603（2019）34-0026-02

一、定理及推论

本文主要讨论满足二阶导数的级数敛散性判定，重点分析通项中带f（）的敛散性判定.

定理（二阶导数判定定理） 设函数f（x）在x=0处具有二阶导数，则级数f（）收敛的充要条件是f（0）=f'（0）=0.

证明（必要性）假设函数f（x）在x=0处具有二阶导数，且级数f（）收敛.因为函数f（x）在x=0处具有二阶导数，则f（x）在x=0的领域内是连续的，则由级数收敛的必要条件，f（）=0=f（0），又f'（0）==，假如极限值为非零的实数，即f'（0）≠0，则由级数的极限审敛法，级数f（）发散，同假设矛盾，所以f'（0）=0.

（充分性）设f（0）=f'（0）=0成立，因为函数f（x）在x=0处具有二阶导数，则由Taylor展开式

f（）=f（0）+f'（0）（-0）+（-0）2+0（），

故f（）=f'（0）+0（），故f（）-f''（0），n→∞，故f（）收敛.

我们也可将这个结论做一定的推广：

推论 设f（x）在R上具有直到n+1阶导数且f'（x）≠0，则级数[f（）-f（0）]发散，[f（）-f（0）-f'（0）].

二、相关应用

有了这个定理，在证明通项为f（）形式的级数敛散性的结论时可以考虑直接利用定理的结论.例如以下类型的题目：

例1 （1）（arcsin-）;（2）[+lnn-ln（n+1）];

解：（1）不难观察，级数的通项中为f（）形式，其中f（）=arcsin-，f（x）=arcsinx-x，f'（x）=-1，.函数f（x）在x=0处具有二阶导数，且f（0）=f'（0）=0，由二阶导数判定定理可证，级数收敛.

（2）通过简单的化简，可以将级数的通项化成f（）形式，其中f（）=+lnn-ln（n+1）=+ln，f（x）=x-ln（1+x），f'（x）=1-，f''（x）=，故函数f（x）在x=0处具有二阶导数，且f（0）=f'（0）=0，由二阶导数判定定理，知级数收敛.

读者也可自行利用二阶导数判定级数的敛散性定理证级数（-1）n（1+-]及的敛散性.

在一些考研和竞赛题中，也经常会出现此类题目，但是需要给出完整的证明，我们可以借助证明定理的方法来证明此类题目.

例2 设函数f（x）在x=0处具有二阶连续导数，且有=0，证明级数收敛且f（）绝对收敛.

证明 因为=0，故f（x）=0=f（0），且f'（0）==0，将函数f（x）在x=0处二阶泰勒展开，为f（x）=f（0）+f'（0）（x-0）+（x-0）2+0（x2）.

故f（）=f'（0）+0（），有-f''（0），f（）-f''（0），n→∞，则收敛且f（）绝对收敛.

例3 设函数f（x）二阶可导，且有f''（0）>0和=0，求级数f（）xn的收敛域.

解：令an=f（），类似例2的证明，可知f（0）=0，

f'（0）=0，于是=====.

注 若无条件“函数f（x）在x=0处具有二阶连续导数”，则结论不成立。反例：f（x）=.

因为函数f（x）在x=0处不具有二阶连续导数，且

f（）==，

又≥>，故发散.

在一些题目中，虽然通项中能建立y（）的表达式，但是给出的条件并不能满足二阶导数判定定理的条件，这时候需要进一步分析给出的条件，挖掘其中蕴含的条件，利用证明定理的方法类似去证明.

例4 已知函数y=y（x）满足等式y'=x+y，且y（0）=1，讨论级数[y（）-1-]的敛散性.

解：因为y'=x+y，所以y''=1+y'.由y（0）=1得y'（0）=1，y''（0）=2，由函数y=y（x）的二阶Taylor展开式

y（）=y（0）+y'（0）++0（），

知y（）-1-在当n→∞时与等价.因级数收敛，故原级数必收敛，且是绝对收敛.

题设条件蕴含y'（0）=1，y''（0）=2，从而可将函数y=y（x）在x=0处展开成二阶Taylor展开式，建立y（）的表达式.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（下）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]陈兆斗，黄光东，赵琳琳，等.大学生数学竞赛习题精讲[M].北京：清华大学出版社，2015.

[3]同濟大学数学系.高等数学（下）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

◎编辑 冯永霞