基于口袋仪器实验室的一阶/二阶系统响应综合性实验

张志明, 李蓉艳

(同济大学 电子与信息工程学院, 上海 200092)

工程认证标准的自动化类专业培养方案体系中,信号与系统与自动控制原理是两门重要的专业基础课程[1-4],其教学内容相互衔接,前者是后者的先修课程,后者是前者的深化应用。两者共同的基本教学目的是使学生理解和掌握系统的基本理论和基本方法,同时提高学生的创新意识和实践能力。基础理论知识作为课程教学中的重点内容和难点内容,国内外的教材中均有详细论述[1-4],但对于本科学生来说,由于学习内容同时兼备较强的专业理论性和工程实用性,初学时很容易陷入强记数学公式的误区,故需要改革课程的实验内容、配合理论教学、强化和补充学习效果[5-8]。

1 线性时不变系统的响应特性

线性时不变系统是信号与系统和自动控制原理课程中的学习和研究对象,其中一阶/二阶系统是构成复杂系统的基本单元,无论是实验教学还是工程实践,应用极为普遍,学习一阶/二阶系统的性能分析有助于加强对一般系统特性的理解和掌握,具有重要的实际意义。以二阶系统为例,其数学模型可以用二阶微分方程表示,转换为s域传递函数的标准形式如下式:

(1)

时域分析是3大分析方法之一,在时域中研究问题,重点讨论系统在输入信号作用下的过渡过程响应形式,其特点在于直观与精确,例如对于欠阻尼二阶系统对象,阻尼比ξ、自然频率ωn、阻尼振荡频率ωd和各项动态性能指标均可以从阶跃响应波形上直接判读或间接计算得到,如图1所示。

图1 二阶欠阻尼系统的时域性能指标

传统的一阶/二阶系统响应实验在模拟实验箱上完成[9],并通过外部示波器观察系统的响应和各项动态指标,由于内部电路结构和参数固定,只能局限于简单的验证性实验,实验内容难以扩展。另外,采用Matlab等软件实现的仿真实验灵活多样,但局限于理论模型计算,对所依托的实际硬件电路和物理信号不能直接测试和分析[10-11]。因此,本文围绕工科学生工程实践能力培养目标,以实际教学内容理论基础为依托,基于便携式口袋仪器实验室,软件和硬件结合,设计与实现贯通信号与系统及自动控制原理课程的一阶/二阶系统响应综合创新性实验。

2 口袋仪器实验室

虚拟仪器技术的引入使得计算机在ELVIS硬件平台的支持下可以由软件实现常规仪器功能[12],丰富了实验手段,但受限于相关设备平台的成本和体积,普通院校很难满足学生的需求。Digilent公司的低成本迷你便携式学生设备AnalogDiscovery2具有多个基于计算机的通用实验室仪器功能[13],针对测试学习及应用,可与WaveForms[14]软件及实验电路结合,为工科学生提供一个随时随地都可以开展学习和工程创新实践的“口袋仪器实验室”。

AnalogDiscovery2通过FlyWire导线探针连接到实验电路,具有2个差分模拟输入通道(1MΩ,±25V,14位,100MS/s),用于示波器、频谱分析仪、网络分析仪、电压表等仪器；2个模拟输出通道(±5V,14bit,100MS/s),用于信号发生器；16通道数字输入/输出(高速TTL)，用于逻辑分析仪、数字模式发生器等仪器；同时可对外提供2个可编程电源(0～+5V,0～-5V)接口。AD2连接至计算机的USB接口,由WaveForms软件驱动[14],用户通过简洁易用的图形化界面操作,配置为以上所述的多种实验室功能仪器。AD2NIEdition的接口定义和WaveForms软件界面分别如图2中所示。

图2 Digilent Analog Discovery2外部信号接口定义及Waveforms软件界面

3 一阶/二阶系统响应实验设计与实践

一阶/二阶系统响应综合创新性实验的硬件由口袋仪器实验室AnalogDiscovery2和系统响应实验功能电路组成,在WaveForms软件的控制下实现对一阶/二阶系统响应的观察与特性分析,系统结构框图如图3所示。信号发生器模块产生连续时间信号作为激励送入实验功能电路,和系统时域响应信号一起接入双通道示波器模块,实验电路所需的±-5V工作电源由可编程直流电源模块提供。

图3 一阶/二阶系统响应实验系统结构框图

3.1 实验电路的驱动信号生成与输出信号波形测量

使用口袋仪器实验室的信号发生器模块[13],代替传统实验方法中的外部仪器或者实验箱电路,生成的连续时间信号通过W1/GROUND模拟量输出端口输出。在Waveforms软件的Wavegen软面板界面[14]中可以方便地设置和调整典型激励信号(阶跃信号、脉冲信号和斜坡信号等)的类型和参数。

口袋仪器实验室的示波器(Scope)模块具备示波器的常用功能,用于数据采集及信号分析,操作方法与实验室中的真实示波器类似。两对模拟量差分输入通道(1+/1-和2+/2-端口)可同时测量两路模拟信号,利用杜邦线连接或排母排针对插,接入示波器输入端口,同时测试并同屏显示其波形和参数。

口袋仪器实验室的Spectrum(频谱分析仪)和Network(网络分析仪)分别用以分析系统信号的频率特性和测试系统的传递函数,其激励信号生成可复用信号发生器的模拟量输出端口,信号采集端口则与示波器的两对模拟差分输入通道复用。

3.2 基础实验电路设计与实践

含有储能元件电感L和电容C的电路有着广泛的应用[15],如振荡器、滤波电路、调谐放大器等,在用微分方程或系统函数进行建模和分析时,和机械、液压、气动等实际系统具有相同的数学模型[1-2],微分方程的阶数由电路中独立的储能元件个数决定。以此为基础设计与实现的实验功能电路,可很容易地采用实物元器件在面包板或实验台上搭建真实电路,进行电路测试或分析。本实验提供搭建的无源RC一阶系统/RLC二阶系统电路如图4(a)所示,配合口袋仪器实验室,可完成如下基础实验项目:

(1) 无源RC一阶系统/RLC二阶系统的数学建模与时域求解(理论解析)；

(2) 采用无源器件搭建与调试简单实验系统；

(3) 一阶/二阶系统在阶跃信号、脉冲信号和斜坡信号等典型激励信号下的输出波形响应,了解一阶/二阶系统的响应特性；

(4) 利用阶跃响应法、频域分析法求解系统函数表达式中的重要参数(阻尼比ξ、无阻尼自然角频率ωn)和各项动态性能指标。

当图4(a)中的跳线开关S1和S2断开时,实验电路为典型的RLC串联二阶系统,其系统传递函数为

实验时图4(a)中电位器VR1的阻值从10kΩ开始逐渐减小至零,即可改变系统阻尼比ξ,使系统分别处于过阻尼、临界阻尼、欠阻尼、无阻尼状态,用示波器观察和记录系统输入信号和阶跃响应输出,结果分别如图4中的(b)、(c)、(d)、(e)所示。

需要注意的是,在整个实验电路的实施过程及调试中,无论是在面包板上搭建电路,还是通过实验板飞线连接,或者直接制作电路PCB时,都必须提醒学生考虑到系统实物对象与理想数学模型之间的差异性。例如,R=0 Ω时计算得到系统阻尼比ξ=0,此时理论上系统阶跃响应形式应该是无阻尼状态的等幅振荡,但图4(e)中实际波形为衰减振荡(和欠阻尼状态时的响应波形类似)。究其原因,是电路中实际的电感线圈和电容器元件都具有损耗电阻,其实际参数值与标称参数值之间也有误差。学生需要在实验过程中据此对系统元件参数设计进行必要的修正,实验电路才能和理论解析一致正常工作,相关的分析可以作为实验考核报告的扩展组成部分。

3.3 扩展实验项目

在基础实验以验证性实验基础上,利用口袋仪器实验室AD2的多种仪器功能,可以方便地扩展实验项目和内容。仍以前述的RLC串联二阶系统为例,可以学习与掌握测试系统频率响应的方法。系统的频率响应H(jω)=|H(jω)|ej φ(ω),由幅频特性|H(jω)|和相频特性ej φ(ω)组成,分别表征了系统对输入信号的放大特性和延时特性,有着重要的理论价值和实用价值。系统的过渡过程与频率响应有确定的关系,一阶和二阶系统可直接用数学方法来解析求解,高阶系统的求解过程则需要很多时间,在工程实践中实际意义不大。建立在频率响应基础上的分析和设计方法,称为频率响应法,根据频率响应的特征量直接估计系统过渡过程的性能,再分析系统的稳定性和其他特性,是信号与系统以及自动控制理论中的基本方法之一[1-3]。

常规的实验手段测量线性系统频率响应,需要在所考察的频率范围内选择若干个频率值,分别测量各个频率下输入信号(正弦信号)和系统稳态输出(正弦信号)的振幅和相位角值,绘出所对应的频率响应曲线。这样的实验过程繁琐并且误差较大[9],影响实验效果。使用AD2口袋仪器实验室的Network(网络分析仪),基于正弦扫频法,其激励信号受软件控制,按所设置的频率范围和样本点数参数自动扫频输出,系统的激励信号和响应信号分别接入到两路输入通道,由软件自动采集和计算,可直接获得系统的波特图(幅频特性和相频特性)曲线。测试结果如图5中所示(R=400 Ω,ξ=0.2, 欠阻尼),实验结果与时域理论解析及Mulitsim软件仿真结果相近似符合。

3.4 多样化综合实验

实验项目如果仅验证教学内容,学生缺少动手实践机会,很难让学生产生深刻的感性认识和激发学习的兴趣,对学生动手能力提高有限。在前述基础实验和扩展实验项目的基础上,通过理论知识仿真化、软件实验硬件化和硬件实验设计化等手段,开展多样化的综合性实验设计,以达到开阔学生思路、激发学习兴趣的目的。

以常见的I型二阶系统为例,受电子器件的物理特性约束,采用RLC元件构成的无源电路系统只能近似接近理想特性,而采用运算放大器、电阻、电容等模拟器件的有源电路系统特性更好[15],可构成比例、积分、一阶惯性等典型环节,通过串联/并联/反馈形式组合为复杂系统。I型二阶系统原理电路见图6，S1开关断开时,为二阶开环系统；S2开关接通时,为二阶闭环系统。多样化综合实验要求学生必须先对二阶电路系统建模,设计并仿真系统函数(使用Matlab或Multisim软件),分析和讨论系统参数对系统频响特性的影响和相应的设计指标,并在仿真成功后再准备好相应的元器件和连接线装配调试,对最终得到的响应信号结果进行分析和讨论,从而深刻掌握输入激励、输出响应信号与系统在时域、频域的对应关系及物理意义。

图5 二阶系统波特图(幅频特性和相频特性)

图6 I型二阶系统的原理电路

该I型二阶系统的典型分析与综合设计实验需要综合运用时域和频域分析方法,由学生自主完成设计实验、分析与解释数据的工作,最后通过信息综合得到合理有效结论。实验包括如下内容:

(1) 典型二阶系统模拟电路的构成方法及I型二阶开环/闭环系统的传递函数建模与仿真；

(2) I型二阶开环/闭环系统的结构参数(自然频率ωn、阻尼比ξ)对系统响应过渡过程的影响研究；

(3) 掌握欠阻尼I型二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能指标MP、tP、ts的计算；

(4) 设计实验电路,搭建实物系统,使用AD2口袋仪器实验室进行测试分析；

(5) 分别观察和分析I型二阶闭环系统在阶跃信号输入时,欠阻尼,临界阻尼,过阻尼状态的瞬态响应曲线及其动态性能指标tr、MP、tP、ts值,并与理论计算值作对比。

实验电路中激励信号在输入到实际功能实验电路之前,先经过一个前置的电压跟随器U1A,这是因为对于本实验电路,当调节电位器VR4阻值近似为零时,系统蜕变为近无阻尼系统,此时因AD2激励信号源的驱动能力有限,系统响应和理论模型相比可能会有较大误差,所以需要增加一个电压跟随器以增强激励信号的驱动能力；同理,系统的输出响应信号的后级也增加有一个电压跟随器U1B。

表1 I型二阶系统动态性能指标(欠阻尼状态,闭环系统)

注:1.括号内数值为测量值；2.K、wn和ξ都为计算值。

完整的系统响应实验装置硬件单元组件包括Analog Discovery2口袋仪器实验室和实验电路(可用万能板或面包板搭建),如图7所示。其中万用板右下方红线框中为无源RC一阶系统/RLC二阶系统电路,配套AD2使用时需要FlyWire杜邦线连接；万用板其余部分为I型二阶系统的有源模拟电路,同样也可以使用FlyWire,更可靠的连接方式是通过双排弯排母和AD2的双排插针直接对插固定连接,避免飞线连接引起的导线松动或接错问题。

图7 基于口袋仪器实验室的系统响应实验装置

4 结语

由被动性学习到主动性学习最好的方法就是实践,引入便携式口袋仪器实验室,给学生提供了一个基础理论分析计算与实际工程问题相结合的创新实践平台,为专业课程的学习和工程素质的拓展奠定良好的基础。作为随课实验在课堂现场进行时,学生可直接参与实验过程,直接有机整合到理论内容的教学中。更重要的是,可以由学生在课后根据教学要求自主进行实验设计、分析和调试,将一般验证性实验扩展为课后自主综合性实验,从相对狭窄的课程理论内容扩展到宽口径专业基础和创新能力培养。

致谢:感谢同济大学电子与信息工程学院控制科学与工程系硕士研究生王德明、寿佳鑫、钟政同学对课程教学和实验调试的支持！