洪荒力巧应用，不等式妙突破——2019年全国卷Ⅲ第23题

浙江省绍兴市上虞区丰惠中学 杨 成

2019年高考全国卷Ⅲ第23题，巧妙地把对应二次代数式的最值问题与不等式的证明加以整合与交汇，从不等式的最值求解应用与不等式的证明两个角度来设置问题，综合考查对相关知识的理解与掌握，从而可以有效考查各水平层次考生的数学综合知识与综合能力，有利于高考的区分与选拔.

一、真题在线

【高考真题】（2019年全国卷Ⅲ23）设x，y，z∈R，且x+y+z=1.

（Ⅰ）求（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；

（Ⅱ）若（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥成立，证明：a≤-3或a≥-1.

本题利用三参数“和定”的条件，一方面，破解相关二次代数式的最小值；另一方面，结合对应二次不等式的恒成立条件来证明对应参数的取值范围问题.再加以多元（三元及以上）代数式或不等式的出现，给本题增加了一定的难度，普遍反映解答不理想，甚至有很多学生无从下手.下面结合该高考真题的多种破解方法加以剖析，彻底理清解题思路，把学生从题海中拯救出来.

二、真题解析

解法1：（官方标答——基本不等式法）

（Ⅰ）由于［（x-1）+（y+1）+（z+1）］2=（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2+2［（x-1）（y+1）+（y+1）（z+1）+（z+1）（x-1）］≤3［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］，

故由已知得（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥

所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为

（Ⅱ）由于［（x-2）+（y-1）+（z-a）］2=（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2+2［（x-2）（y-1）+（y-1）（z-a）+（z-a）（x-2）］≤3［（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2］，

故由已知得（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥

因此（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值为

点评：利用基本不等式将平方和的关系转化为和的平方的关系，再结合条件破解二次代数式的最值，并利用不等式恒成立的条件来转化得以证明参数a的取值范围问题.利用基本不等式法处理时，关键是通过平方和的关系与和的平方的关系的巧妙转化，进而有效利用“和定”的条件来应用.

解法2：（柯西不等式法）

（Ⅰ）由柯西不等式可得：

（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2=当且仅当x-1=y+1=z+1，即时等号成立.

所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为

（Ⅱ）由柯西不等式可得：

（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2=，当且仅当x-2=y-1=z-a，即x=时等号成立.

因此（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值为

点评：利用柯西不等式将平方和的关系加以合理配凑，从而借助柯西不等式转化为和的平方的关系，进而有效破解相关的问题.合理配凑并有效借助题目条件中的“和定”及其相关条件是有效破解问题的关键点.

解法3：（构造向量法）

（Ⅰ）构造向量m=（x-1，y+1，z+1），n=（1，1，1），结合向量的数量积性质，可得｜m·n｜=｜（x-1）×1+（y+1）×1+（z+，化简可得即（x-1）2+当且仅当x-1=y+1=z+1，即时等号成立.

所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为

（Ⅱ）构造向量m=（x-2，y-1，z-a），n=（1，1，1），由于

结合向量的数量积性质｜m·n｜≤｜m｜｜n｜，可得｜-2-a｜≤，即可得（x-2）2+（y-1）2+，当且仅当x-2=y-1=z-a，即时等号成立.

因此（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值为

点评：利用构造向量法，借助向量的数量积公式把相应的平方和的关系与和的平方的关系加以有机“串联”，并结合向量的数量积性质建立起相应的不等关系式，从而用于求解相应的最值或证明不等式.合理构造向量（可以是平面向量，也可以是空间向量，根据题目条件加以合理选择），并利用数量积公式与性质来综合应用是解题的突破口.

解法4：（权方和不等式法）

（Ⅰ）由权方和不等式可得：

（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2=，当且仅当x-1=y+1=z+1，即时等号成立.

所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为

（Ⅱ）由权方和不等式可得：

（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2=，当且仅当x-2=y-1=z-a，即时等号成立.

因此（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值为

点评：利用权方和不等式将平方和的关系朝着和的平方的关系方向转化，有效借助题目条件中的“和定”及其相关条件来破解问题.权方和不等式破解此类问题显得更为简单快捷、目的明确，由于该不等式不常用，这里只是作为本题破解方法的一个提高与拓展来处理与分析.

解法5：（反证法）

（Ⅱ）假设a≤-3或a≥-1不成立，则知-3＜a＜-1成立，即（a+2）2＜1，由柯西不等式可得（12+12+12）·［（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2］≥［1×（x-2）+1×（y-1）+1×（z-a）］2=（x+y+z-3-a）2=（a+2）2，当且仅当x-2=y-1=z-a，即时等号成立.

上式等号成立时，3［（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2］=（a+2）2＜1，即（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2＜成立，与已知条件矛盾，故假设不成立，则有a≤-3或a≥-1.

点评：利用反证法思维，通过假设结论不成立，借助柯西不等式加以转化，得到与已知条件相矛盾的不等式成立，进而产生矛盾，从而得以证明相应参数的取值范围的不等式成立.用反证法证明不等式等相关问题，也是一个比较常见的思维方式.

三、解后反思

借助三元代数式的最值与三元不等式恒成立的应用，破解过程无固定的程序与规律可循，结合题目条件加以有效联想，从多角度切入，利用不同的不等式性质以及不同的问题构造来合理转化与处理，达到有效破解问题的目的.而此类问题的多角度思维，也为考生提供了很大的发挥空间，对考生的数学思维与逻辑推理的考查更为深入，对考生的考试区分度更为明确，对于数学知识、数学能力与数学素养的考查要求都非常高.W