一道“新定义”考题的命题商榷与教学思考

☉江苏省苏州工业园区东延路实验学校 王小林

2019年各地中考试卷陆续出来之后，我们发现不少地区设计出形式各异的“新定义考题”，这些新定义考题往往从一个“定义”出发，引领学生阅读理解，想清辨明定义的本质特点，对于重视定义教学起到一定的导向作用.然而，正如李邦河院士所指出的“数学，根本上是玩概念的”，可见，数学概念的生成与归纳是非常有挑战性的，数学教学中最难的也是玩概念.本文将由最近某地一道中考新定义压轴题的设问商榷说起，谈谈初中代数领域关于定义教学（或概念教学）的一些思考与体会.

一、由一道中考新定义考题说起

说明：这是2019年N市中考数学试卷最后一题的“部分”呈现.

定义：点M（x，y），若x、y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”.例如，点（0，-2）和（-2，0）是“线点”.

已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围.

命题商榷与教学思考：这里我们不想探讨这道新定义考题的解法或答案，只是从命题的角度提出商榷.如“定义”中出现的常数t并没有给出取值范围，但是后续设问时却要让考生求定义中某个常数的取值范围，也就是说上述定义是不完整的、不严密的.还有，数学上的定义应该简洁、好懂，通过更初等的概念定义新的概念（即“低维”定义“高维”），而不是人为制造麻烦，把定义搞成猜谜一样的条件呈现.当然，似乎没有影响其他设问的求解，只能算是一个结构不良的新定义考题.这事实上引发我们思考一个很好的教研话题：我们该如何开展概念教学？具体来说，章建跃博士曾提出“在核心概念教学上，要不惜时不惜力”，那么我们应该在何处慢下来？慢下来或停下来干什么？本文将围绕上述话题结合具体的案例展开讨论，这也是从研究解题走向研究教学的一次尝试.

二、“初中代数”定义教学的思考

初中阶段代数领域主要研究数与式、方程、不等式与函数.出现一类新的研究对象，都会对它们进行定义，其中不少定义是描述性质的，多是以举例的方式，然后以“形如……”这样的形式给出定义.那么，我们该如何开展这类研究对象的定义教学呢？

1.精选恰当问题情境，让学生充分感知研究对象

研究教材就会发现，当引出一个新的数学概念或研究对象时，往往都会在具体的情境中从学生已有经验出发，通过分析问题、抽象问题，得到新的研究对象，然后为了进一步系统研究这些新的数学对象，会引出如何归纳它们的定义.这就提醒我们：开展定义教学，需要精心选择问题情境，这些问题情境既可以是生活现实，也可以是数学现实或者其他学科现实，选取标准是是否有利于新概念的引入，是否有利于帮助学生理解即将要学习的新的定义.

举例来说，以一元二次方程为例，我们需要借助一些生活问题（即生活现实），通过设未知数、列出一元二次方程，让学生观察这些方程与之前所学过的方程有什么不同，类比之前学过的一些方程，该如何定义这类新的方程呢？在这些问题上多停下来追问，并让不同学生进行多遍复述，可让学生充分感知研究对象，有利于促进学生内化对新学定义的理解.

2.即时抽象研究对象，让学生参与梳理归纳定义

在观察不少概念教学时，很多教师都热衷于选择一些生动、形象的生活现实，比如，一段制作精美的视频短片或诗意的画面来引出一些具体数学问题，然而有些教师在这些环节逗留的时间偏长，使得学生陶醉在数学之外的画面、音乐、图画之中，却对待学数学概念的本质缺少必要的揭示.这种过分注重生活味的情境创设不利于数学化的过程，或者有些概念教学从根本上说就缺少数学化的过程.容易出现情境创设过分花哨，数学概念引出一代而过的现象，学生没有得到很好的理解，对概念的本质辨析、感悟不到位，后续再安排大量练习来巩固新知，到头来把概念教学上成“一个定义、三项注意、大量练习”的低品质课堂.

以变量与函数的起始课教学为例，我们可以精选一些生活现实，如行程问题、定长绳子围长方形问题、生活中的气温变化等，让学生在这些熟悉的生活现实中辨析其中的变量与变量之间的关系，并逐步内化、归纳出这些问题情境中，都存在一个变化过程，有两个变量，其中一个变量变化时，另一个变量随之唯一确定，这时就称这两个变量之间存在函数关系，引发变化的称自变量，随之唯一确定的变量称为函数，并小结出函数定义的关键“一个变化，两个变量，单值对应”，在此基础上让学生对之前例举的一些问题情境，可以再从函数概念的角度进行理解、复述，增加对函数定义的理解，特别是对函数语言或相关函数概念的熟悉.

3.注重运用变式教学，让学生辨析定义“非标准形式”

一般来说，通过具体问题情境引出新的数学定义之后，往往就会跟进一些练习进行训练巩固，这时如果是大量无趣的习题，会使得新授课教学沦落为低品质的习题教学课或习题讲评课，学生学得无趣，对理解数学定义的本质也没有太大的帮助.但是我们还是要注意通过不同的教学组织来促进学生理解定义的“标准形式”与“非标准形式”.举例来说，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）中，对常数b并没有特殊限制，这时就可安排学生辨析形如y=3x或y=-的是否为一次函数，如果学生辨识出错，就引导他们“回到定义”去理解，只要符合定义中的约定，就可认定它是一次函数，顺势可以向学生介绍b=0的一次函数由于比较特殊，数学教材上又将它们称为正比例函数.类似的，还可以引导学生回忆平方根的相关概念，比如，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，通常正的平方根也称算术平方根.还有关于无理数的定义也是学生比较难理解的，当我们给出“无限不循环小数是无理数”后，学生对无理数的理解往往停留在一些具体的形式上，比如，学生能很快辨认它们是无理数，但是对于像这样的形式就容易误认为是分数，这时就需要引导学生“回到定义”进行辨析，比如，有理数是“可比数”（形如且m、n为整数，注意整数也可看成分母为1的分数），这样就可辨析出都是无理数.这也就让学生对定义的标准形式与非标准形式进行了有效的对比.

三、对“新定义考题”的命题建议

由于我们在上文提出了对新定义考题的一些商榷意见，“知易行难”，以下本着命题、磨题的兴趣，对“新定义考题”提出一些命题建议.

1.定义要简洁、好懂，不要故弄玄虚

研究初中阶段的一些“定义表述”可以发现，这些定义都简洁、好懂，比如，像2与-2，5.5与-5.5这样，只有符号不同的两个数称为相反数.这种描述性定义简洁、好懂，通过举例的方式让学生有较为直观的理解，而随着对相反数定义的深入解读，特别是借助数轴上两点之间距离来深入思考，不但会得出形如a、-a的两数是相反数，还能揭示相反数的本质：若a+b=0，则a、b互为相反数.而有些新定义考题，定义所列举出来的条件晦涩难懂，初读几遍，往往不知所云，且举例也不够典型和有代表性，以此来实现所谓区分选拔功能，新定义考题在教学导向方面的功能没有能很好地发挥，是一种命题遗憾.

2.定义要逻辑严密，不能出现漏洞

我们知道，数学是一门逻辑严密、前后一致的科学.数学分支往往从定义、公设出发，在公理、规则的支持下演绎发展成“参天大树”，这个“生长”“扩张”的过程中，定义往往是本原性的、最初的，定义也是始终必须认可并遵守的.从这个角度看，数学家认为“数学，根本上是玩概念的”是非常有道理的.以我们熟悉的一些初中代数定义来看，二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中，对二次函数的形式有了“直观”好懂的描述，且对常数a、b、c做了严格的界定，而不是在后续运用定义解决问题时，再出现常数a、b、c还会有其他的限制.

基于以上理解和认识，作为本文的最后，我们可以对本文开始引用的新定义考题提供两种打磨方式：

打磨试题1：

阅读定义：点M（x，y），若x、y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t≥3，则称点M为“线点”.

理解定义：点（0，-2）和（-2，0）是“线点”吗？若点P（m，n）是“线点”，则点Q（n，m）也是“线点”吗？请说明理由.

灵活运用：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）是“线点”，用含t的代数式表示mn.

打磨试题2：

定义：平面直角坐标系xOy中，若m≠n，则称点M（m，n）与点N（n，m）互为“变换点”.

运用定义解答下列问题：

平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）与点B互为“变换点”.

（1）当a+b+2=0，且∠AOB=120°时，求线段AB的长.

（2）若a、b满足a2=2b+t，b2=2a+t，t为常数，

①若a=28，求b的值.

②小慧通过演算发现t不可能小于3.请判断小慧的发现是否正确，并说明理由.