好的问题总是成堆出现的——从2019年全国卷Ⅱ第20题谈起

☉江苏省南通中学 李维坚

著名的美籍匈牙利数学家波利亚曾说：“当你找到第一个蘑菇后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.”

对于2019年全国Ⅱ卷第20题，看似不显山不露水，其实简约却不简单.

题目已知函数f（x）=lnx-.讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点.

该问题的载体是近几年大热的“取点”问题.正所谓“众里寻点千百度，那点却在灯火阑珊处”.“取点”问题在历年高考、模拟题中频繁出现，一般利用单调性和零点存在性定理解决.现在有的模拟题考查难度加大，有时需要先放缩再“取点”，有时需要先取含参的点再放缩，令师生求而不得、苦不堪言.前几年的全国卷均以此作为压轴题，令人望而生畏.

而今年，本题的“取点”唾手可得.

那么本题中隐藏的玄机又在何处呢？下面笔者谈谈自己的拙见.

其一，本题函数单调性的判断不需要导数的知识，高一的学生可通过“分而治之”化归为基本函数的方法，或者通过单调性定义判断出来.对比现在很多考题中的函数的构造，为了求导而求导，出现了很多现实生活中根本不可能建模，或者根本不存在的函数，成为了复杂函数的堆砌，完全脱离了数学实际.而本题中的函数，构造简约，是两个基本函数：定义域不连续，对数函数和一次分式函数的和，考查的是学生对基本初等函数的认知水平和解决能力，可以说一看就了然于心，这个函数分别在（0，1）、（1，+∞）上是单调增函数.用导数来判断单调性，真是杀鸡焉用牛刀.

其二，很多网上的答案在区间（1，+∞）上取的点是“e”和“e2”，证得f（e）=＜0，f（e2）=＞0，所以根据零点存在性定理知，f（x）在（1，+∞）上有唯一零点.继而，在区间（0，1）上又取点“”和“”，同理可证得.

那么问题来了，我们常说要解题反思，解题反思包含的一个环节就是“解后反思”.波利亚说：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的回顾.”

解题之后的回顾带来了对问题进一步的认识.

本题开启了“取点”的新局面：利用原函数的性质简化“取点”的个数，达到事半功倍的效果.解决了一个新的问题时，我们应该考虑“相似的问题”、“相近的问题”，好的问题总是成堆出现的，问题促使我们思考，提高我们的数学思维能力.

相似的问题如下，一道调研压轴题，同样仅需高一的数学知识就可以解决.

变式：已知函数f（x）=时，是否存在实数x，使得f（-x）=-f（x）？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由.

通过对上题的解后反思，我们不难发现，本题函数的单调性一目了然，本题的问题方程f（-x）=-f（x）所蕴含的性质，恰恰帮我们简化了“取点”的道路.

但本题的求解之路并非简单地重复全国卷.

思考维度1：直接作差构造函数.当x≥1且x≠2时，令g（x）=f（-x）+f（x）=，易得g（x）在区间（1，2）和区间（2，+∞）上分别是单调减函数.在区间（1，2）上，g（x）≤g（1）=-1-a＜0，不存在满足条件的x.在区间（2，+∞）上，易得g（3）=，根据单调性考虑取大于2小于3的数，此时将具体的数代入会有解题困难，考虑取含参数的大于2 小于3 的，代入得；若是失效，可尝试取离2更近的数，比如，或，代入g（x），看成关于a的函数F（a），求其范围即可.由此可得函数g（x）在区间（2，+∞）上有且只有一个零点x0.而根据此函数的性质f（-x）=-f（x），当x0（x0≠0）满足此方程时，实数-x0也一定满足f（-x）=-f（x），即满足f（-x）=-f（x）的根成对出现，互为相反数.因而，所有满足f（-x）=-f（x）的实数x的个数为2个.

这种思维方式几乎与全国卷一脉相承，完美融合了基本函数的单调性、对称性及零点存在性定理.

思考维度2：对于方程f（-x）=-f（x），更多的人可能条件反射想到的是将分式方程化为整式方程、三次方程，这恰是我们导数应用中的重点，也是我们完全可驾驭的.化归后再构造函数h（x）=ax3-（2a+1）x2-2x+2，并研究其单调性.下面笔者撇开导数，利用“分而治之”的策略，回归函数单调性的定义来谈谈本题的解法.

首先第一次利用“分而治之”，h（x）化为h（x）=ax2（x-2）-x2-2（x-1），易得其在区间［1，2］上函数值恒小于0.下面用定义证明h（x）在（2，+∞）上是单调增函数：任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则h（x1）-h（x2）=（x1-x2）［（ax12+ax1x2+ax22）-（2a+1）（x1+x2）-2］.

（ax12+ax1x2+ax22）-（2a+1）（x1+x2）-2=ax1（x1-2）+ax2（x2-2）+ax1x2-x1-x2-2.

因而h（x1）-h（x2）＜0.所以h（x）在（2，+∞）上是单调增函数.

易得h（2）＜0，h（3）＞0，由零点存在性定理可知，h（x）在（2，+∞）上有且只有一个零点，以下同思考维度1.

思考维度2虽然在函数的处理策略上与全国卷大相径庭，但是“分而治之”的思想方法却是一用到底，这启发我们在解题时，要沉下心观察数式的结构特质，事先要有解题规划，这样才能明确解题方向，在方向的指引下，不断寻求问题的突破口.

张奠宙教授曾以贾岛的《寻隐者不遇》中一句深刻隽永的“只在此山中，云深不知处”来通感“零点存在性定理”.“零点存在性定理”又是“二分法”的基石，而本文中反复使用的“分而治之”又何尝不是“二分法”和“化归”的应用之一呢.

“数学化”地处理问题，不仅在遇到新的数学问题时能以黄杨木般“困于天而能自全于天”的心态解决问题，进而发现一堆好的数学问题，而且也可以在其他领域发现问题，并通过数学建模去解决问题.有了通性通法的指导，面对难题，黄杨旧厄三年闰只是偶然，赤骥非无万里姿才是常态.