数学活动经验的成分分析*

☉内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林

一、研究数学活动经验的意义

数学智慧永远离不开数学活动经验.智慧是无垠的海洋，经验是智慧海洋中无尽的浪花.没有经验就没有智慧.数学活动经验对于学生同化数学新的知识、方法、思想等具有决定性的作用.数学活动经验既是学习的必要基础，也是学习的目标，数学活动经验能激活直觉、涵育创新.因此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》［1］和《普通高中数学课程标准（2017 年版）》［2］都提出了“积累数学活动经验”的教学目标.由此足见数学活动经验的重要性.但遗憾的是，对数学活动经验的界定，这两个“标准”均未明确给出，学术界也没有达成共识，这给中小学一线教师的教学带来困惑.因此，研究数学活动经验具有学术必要性和现实紧迫性，研究的策略最好采用各个击破的方法.显然，弄清“数学活动经验”的前提是（基本）弄清数学活动经验的成分.基于此，下面拟对数学活动经验的成分作一些分析与探讨.

二、数学活动经验成分的研究评述

近年来，一些教师对数学活动经验的成分作了不少研究，下面对几种具有代表性的观点作探讨和评述.

“数学活动经验分为静态和动态两个层面.从静态上看，数学活动经验是知识，从动态上看，数学活动经验是过程，是经历.”［3］一般认为，数学活动经验含有知识成分，这是大家的共识.数学活动经验是过程吗？是经历吗？或者反过来说，“过程是数学活动经验”吗？“经历是数学活动经验”吗？这就存疑了.从逻辑的角度看，这两个说法是有差异的.经历数学活动的过程，必然会产生数学活动经验吗？显然未必.事实上，“经历数学活动的过程”只是“产生数学活动经验”的必要条件，但不是充分条件.简言之，“过程”只是“经验”的必要条件但不是充分条件.也就是说，“数学活动的过程”或“经历数学活动”都不能与“数学活动经验”划等号.正像当下一些数学课堂，表面上看热热闹闹，教学过程紧凑，学生活动丰富多彩，但学生在数学方面的收获很少.课堂上学生回答问题明明是错误的或不全面的，教师及时给予肯定甚至赞扬，这样的数学活动过程中学生不但不能获得经验，而且可能养成是非不分的恶习.

“学生的基本活动经验包含以下3类基本内容：体验性内容；策略性内容；模式性、方法性内容.”［4］这里不把数学知识、数学思想等明确地放在数学活动经验内，是不全面的.如果学生对某个数学知识、数学方法、数学思想等的体验是错误的或很不准确，那这样的体验算不算数学活动经验呢？这当然不能算数学活动经验，比较恰当地讲，可以算“数学活动教训”.学生在数学学习、问题解决和探究过程中得到的“数学活动教训”可能远比数学活动经验多.因此，学生学习和探究数学更需要雪中送炭，也就是说，应花大力气研究数学活动教训，以及如何将教训变成经验.这才是数学活动经验研究的真问题和好问题.

“数学活动经验是学生从经历的数学活动过程中获得的感受、体验、领悟，以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验.”［5］数学活动经验中显然有数学知识、技能、情感与观念等成分，这说明数学活动经验的成分是复杂的.但这里的“有机组合性经验”不容易理解.事实上，要弄清为什么要“组合”、怎样“组合”、什么是“有机组合”、怎样“有机组合”等问题很困难.这里能否得到这样的启示：数学活动经验是一个框，什么都能往里面装，而且框的东西还会相互作用、相互影响？

数学活动经验是知识性成分、体验性成分、观念性成分的“组合体”［6］.“组合体”与上面的“有机组合”的意思差不多.研究者认为，把“组合体”改为“集合”，这里的“集合”可能是模糊集合或灰色集合，这样改是否更贴切？经验是一个模糊概念或灰色概念，其元素有的是明确的，但有些元素可能具有模糊性或灰色性.因此，把经验看成（当成）模糊集合或灰色集合似乎更接近经验的本质.

数学活动经验包括认知性数学活动经验、技能性数学活动经验、体验性数学活动经验、观念性数学活动经验［7］.这里把数学知识排除在外，可能是误认为“认知性数学活动经验”包括知识经验.但需注意的是，“认知”与“知识”是两个不同的概念.此外，“认知性数学活动经验”似有歧义，“认知性数学活动经验”是指认知“数学活动经验”，或者是指认知“数学活动”的经验，还是指“认知数学活动”的经验呢？这些是不太清楚的.可见，“认知性数学活动经验”的说法有歧义.

“基本数学活动经验是经学生自我反思的对多数学生均能起到指导其思维和操作进程的最核心的知识经验、操作经验（技能性经验）、情感体验、思考经验和应用意识等.”［8］由此，数学活动经验有知识、操作（技能）、情感体验、思考和应用意识等成分.显然情感体验有正面的，也有消极的，比如，某学生对某个数学知识感到无聊或毫无兴趣，这时的情感体验能不能算经验？研究者认为，消极的情感体验不算经验，算教训.

郭玉峰、史宁中［9］认为，数学基本活动经验包括“实践的经验”和“思维的经验”.这里的“实践的经验”偏重于“数学外的世界”与“数学”互化的经验，即“外部世界数学化”（如数学建模）、“数学用于外部现实”获得的经验.“思维的经验”包括形象思维、逻辑思维和直觉思维的经验.“思维的经验”强调学生在数学符号化过程中获得的经验，偏重于理性思维的经验，也应重视在解决问题中所获得的思维策略的经验.不论是“实践的经验”还是“思维的经验”，都比较重视经验积累的过程与效果.

上述研究都有一定道理，但还有一些问题值得探讨.比如，小学（分低段、中段、高段）、初中、高中学生的数学活动经验应有很多不同之处，理所当然该分类讨论；数学活动经验成分的划分应该有一定的标准；数学活动经验除了上述涉及的成分，还有没有别的成分？在小学阶段，应该更加关注可看、可听、可演示、可动手操作的有直观形象思维参与的感性思维的经验，在中学阶段应更关注有抽象逻辑思维参与的理性思维的经验.下面主要针对初中、高中学生探讨数学活动经验的成分.

三、数学活动经验的成分分析

数学活动经验是一个比较广泛（义）的概念，它可以分解成多个子概念.

1.数学活动经验的主要成分

从上面的分析与探讨不难看出，数学活动的核心是思维活动，数学思维活动既有思维过程（比较、分析、判断、想象、推理、猜想、记忆等），又有思维结果（固化产品，如知识等），还有对思维策略与方法的成功体验.数学活动经验是学生在学习数学、理解数学、应用数学、发现或创造数学的思维过程中形成的.从数学活动经验的形成过程看，它包含理解数学、应用数学解决问题（含应用意识）、数学技能、发现或创造数学，以及学生在学习数学、理解数学、应用数学解决问题、发现或创造数学之后的成功体验等成分.从数学活动经验的固化结果看，它既包含数学知识、数学技能、数学方法、数学思维方法等显性成分，又包含数学观念、数学态度、数学思想、数学素养、数学思维策略、数学理性精神、数学审美意识、对数学的积极的情绪体验等隐性成分.此外，悟感是不受意识控制的经验，它是经验的重要成分.

2.数学活动经验的非主要成分

（1）基因性经验.

经验是人与环境（或他人或自己）的相互作用中受到的感应.很多经验是超越人类的、可以基因遗传的［10］.瑞士科学家MaxPlanck在《Science》上发表的文章表明，后代不仅能继承DNA本身，还能继承表观遗传指示，这些表观遗传修饰像“出厂说明书”一样指导后代基因表达.表观遗传标记可以代代相传［11］.由此推断，有些数学意识就深藏在某些数学基因的“出厂说明书”中，如“数感”（就像“语感”“乐感”“美感”一样），有的人表现强烈，有的人表现一般，有的人表现微弱.人的“数感”凝聚在数学基因之中，然而它深藏不露［12］.在教学中对某些学生花大量时间或精力去培养“数感”，这显然不符合因材施教的原则.因材施教的深刻意蕴就是数学教师要读懂每个学生的数学基因的“出厂说明书”，然后依据数学基因的“出厂说明书”施教.但数学教师要读懂这个数学基因的“出厂说明书”是极其困难甚至是不可能的，这是因为当下的脑科学、基因科学的水平远远办不到，这就是因材施教实施困难最根本的原因.需要说明的是，教育的根本意义在于激发学生生命的潜能、迸发学习的力量，因此，不能因为某个学生的“数感”不强就“归因”为他的“数感”基因不好，教师的师德也决不允许这样做.即使他的“数感”基因不好，也应让学生明白华罗庚总结的成功秘诀：“聪明在于学习，天才在于积累.”这里的“积累”当然就是数学经验的积累.由此推出两个结论：数学天才就是长期积累数学经验的结果，数学学习可以把“笨”基因变成“聪明”基因.这不正是数学教育的强大力量吗？受脑科学、基因科学的限制，研究者建议在探讨数学活动经验的成分时一般不考虑基因经验.

（2）悟感是不受意识控制的经验.

人具有本能［12］.本能以基因的方式传递人类的生活和文化经验，并以不自觉的方式进入人们的生活和学习［12］.人的本能就是人的“身”与“心”协同一致的高度智能化系统.人的“身”“心”协同的高度智能化系统即经验系统.人的经验系统既受本能的控制，又受环境（包括文化）的控制（影响）.学习的本质是经验的获得、经验的积累、经验的改造和经验的创生.外部知识的内化不外乎“在本能支配下结合大量无意识活动［12］”“依靠意识的建构方式同化和顺应外部刺激（知识）［12］.”同化和顺应是人类学习最根本的心理机制.因此，经验的获得同样离不开同化和顺应.经验可以创造和生长，简称为创生.本能可以因经验的积累而变化和发展.学习的根本目的在于优化本能和改造本能，让本能更加强大.经验的创生需要本能的参与和改变（造）.因此，经验的产生需要本能（包括大量无意识活动）的参与，经验包括智慧和德性的因素.

人类的创造性想象离不开经验.苏联学者奥尔费耶夫认为，在创造性的想象过程中，也有潜在意识参与其中，在潜在意识领域中反映了主体的不受意识控制的经验，这些经验没有表现为语言形式，或者虽然表现为语言形式但处于意识阈限之下.因此，潜意识的产生需要本能性的经验，这些经验没有表现为语言形式.这说明，有些经验真是“说也说不清楚”，甚至“不能说清楚”，从而，有的经验具有“缄默性”的特点.需要说明的是，经验既可以帮助和激发人的创造性，又可能抑制人的创造性.经验为什么可能抑制人的创造性呢？一般而言，年龄越大经验就越丰富，但科学发展史表明，青少年的创造性一般比老年人的创造性更强，这也就不难理解菲尔兹奖只颁发给40岁及以下的数学家的原因了.从而，过分强调经验，对于培养创新人才可能并不明智.比如，在平面几何教学中，用“剪一剪”“折一折”“量一量”等代替严密的逻辑推理，过分强调“剪一剪”“折一折”“量一量”等数学活动经验的获得，虽对学生理解几何知识有益处，但对培养学生的逻辑思维和创新意识等是不利的.

悟感是不受意识控制的经验.因此，悟感是经验的重要成分.悟感是人的创造性活动的核心，而人的机体和功能的不断创新和创造，是人存在和发展的依据.于是，为了保证创新不受干扰，大自然把作为创新的核心机制——悟感深藏在生命深处，它与生俱来，又和生命活动一齐发展.而且，它的无意识内容的特性，也恰好拒绝了外力以知识、说教形式的直接干预.悟感虽有本能属性，但后天可以培养.悟感的培养对积累数学活动经验非常重要，对培养数学创新意识尤显重要，值得深入研究.