基于Floquet理论的深水隔水管参激振动稳定性分析

王文明 郝 逸 范进朝 李皓冉 朱霄霄 顾继俊

中国石油大学(北京)机械与储运学院, 北京 102249

0 前言

隔水管是海洋钻井设备必不可少的装备,随着国家深海战略的提出,隔水管的工作环境也将更加复杂[1-2]。在实际作业过程中,隔水管受到水平方向海洋载荷激励发生横向振动,但由于波浪的作用,与隔水管顶部相连的浮体会有周期性升沉,导致隔水管轴向力周期性改变,从而引发参激振动,影响隔水管的使用寿命[3]。

国内外学者对隔水管参激振动问题进行了研究,Park H I等人基于三维有限元方法研究在参数激励和横向振动耦合作用下的隔水管振动问题,结果表明组合激励的响应幅度远大于横向激励响应幅度[4];Lei Song等人利用伪激励法研究了在海洋载荷作用下的隔水管参激振动频域响应[5];王宴滨等人利用振型叠加法将隔水管参数振动方程转化为Mathieu方程,并用摄动法对方程求解,得到隔水管参激振动不稳定区[6];唐友刚等人考虑隔水管顶端动边界条件,研究在剪切流作用下参激-涡激耦合振动响应,结果表明横向振动响应频率存在0.5倍参激亚谐成分[7];李威等人基于DQM方法得到隔水管参激振动稳定图,研究阻尼和钻井液流速对系统稳定性的影响,结果表明阻尼越大对系统稳定性越好,流速增加会增加系统失稳的风险[8];张杰等人基于Floquet理论分析了隔水管参激特性,考虑轴向力线性变化,模态出现耦合响应,结果表明模态耦合参数振动的不稳定区显著增大[9]。

国外学者对隔水管参激振动研究是假设轴向力不变,并且未考虑内部钻井液的作用,一定程度上简化了模型,但与实际工程有一定偏差。本文研究浮体升沉幅值和周期对隔水管横向振动稳定性的影响,假设轴向力线性变化,考虑钻井液对隔水管的作用力,利用微元法建立隔水管横向振动控制方程,基于Floquet理论对隔水管参激问题进行研究,得到参激振动稳定图。选取不同区域的浮体升沉周期T和浮体升沉幅值a,计算隔水管各阶模态随时间的变化趋势,判断系统是否稳定。在此基础上研究阻尼c对系统稳定性的影响,对隔水管设计过程中避免参激共振具有一定参考意义。

1 隔水管力学模型的建立

海洋隔水管系统见图1,隔水管两端通过铰链分别连接钻井船和海底井口,将隔水管简化为两端铰接的梁,隔水管自身受到重力、浮力、顶部张紧力以及内部钻井液的作用力,隔水管在海洋载荷作用下会产生横向振动。

使用微元法对隔水管进行受力分析,建立隔水管横向振动的力学模型,见图2。取隔水管微元段ds,根据隔水管的受力分析,隔水管单位长度受到轴向力为Frt,弯矩为M,剪力为Frs,浮重为Fw,海洋载荷为Fws和惯性力。

图1 隔水管系统模型

图2 隔水管微元受力分析

根据隔水管微元段受力分析,建立隔水管横向振动控制方程：

(1)

(2)

2 隔水管参激振动稳定性分析

平台在横向振动的同时还会随着海洋载荷进行周期性的升沉运动,平台周期性升沉运动会导致隔水管轴向力发生周期性变化,而轴向力周期性变换可能会引起对隔水管不利的参激共振。轴向力包含两部分:一部分由于重力导致的静态轴力和一部分随平台周期性升沉的时变轴力。要分析时变轴力引起的参激振动,首先要提取出隔水管的固有特性。

2.1 隔水管固有频率提取

(3)

2.2 Mathieu方程建立

建立隔水管的Mathieu方程需要考虑轴向力中的动态轴力[13],假设动态轴力为简谐形式,那隔水管的轴向力为:

(4)

假设隔水管的稳态振动表达式如下:

(5)

式中:φi(z)是第i阶模态;qi(t)是模态坐标函数,m。

考虑轴向力周期性变化,将隔水管稳态振动表达式x(z,t)带入隔水管横向振动方程得:

(6)

式(6)与式(3)相减,振型函数具有正交性,因此对两端乘以φj(z)并积分,并考虑阻尼作用,得到隔水管参数激励方程:

(7)

方程(7)属于Mathieu方程,隔水管的固有频率与参数T和a都在Mathieu方程中,采用Floquet理论[17]通过参数平面T-a来研究系统稳定性非常方便。即若在T与a的某一定值之下,系统的参激振动响应无界,系统发生参激共振。在参数平面T-a上,对应发生参数共振的点的集合所形成的区域叫做参激共振区。

3 算例及影响因素分析

3.1 基于Floquet理论的参激稳定性分析

(8)

令Y(t)=[y1,y2,...,y19,y20]T,式(8)写成Y′(t)=A(t)Y(t),其中A(t)是一个周期矩阵,自变量为平台升沉幅值a和平台升沉周期T,采用Floquet理论研究方程稳定性[18]。

Floquet理论:对于式Y′(t)=A(t)Y(t),有一个形式为Y(t)=P(t)etR的解,其中P(t)是一个2N·2N的矩阵,周期为T,R也是一个2N·2N的常数矩阵。根据Floquet理论,总存在一个常矩阵B,使得Y(t+T)=Y(t)B。因此有B=eTR,通过求解B或R的特征值便可得出系统的稳定性,假设矩阵B的特征值为λi,稳定性判定办法见表1。假设初始条件Y(0)=I,利用经典四阶龙格-库塔方法即可求解[19]。

表1系统稳定性判定方法

λi是否稳定max(λi)>1不稳定max(λi)=1临界稳定max(λi)<1稳定

选取隔水管计算参数见表2。

表2算例参数

名称数值名称数值隔水管总长/m1 000水深/m1 000隔水管外径/mm533海水密度/(kg·m-3)1 030隔水管壁厚/mm25.4钻井液密度/(kg·m-3)800隔水管密度/(kg·m-3)7 850截面惯性矩/mm41.4×108弹性模量/GPa206钻井液流速/(m·s-1)2顶张力系数1.2阻尼/(N·s-1·m)0.2

利用Floquet理论求得隔水管参激振动不稳定区,见图3。

图3中横坐标为浮体升沉周期T,纵坐标为浮体升沉幅值a,任意周期和幅值代表一组参数激励,其中黑色区域的参数组合代表为参激不稳定区,白色区域的参数组合代表为参激稳定区。

图3 隔水管参激振动不稳定区

选取不稳定区参数a=3,T=22.6;临界稳定区参数a=2.3,T=12.2;稳定区参数a=1,T=7.4。分别求得各区域前十阶模态时间历程曲线,见图4。

从图4-a)看出,选择不稳定区参数组合,当平台升沉频率是一阶固有频率的2倍时,一阶模态被激发(虚线),随着时间的增加,时间函数一直无限增长,引发参激共振;从图4-b)看出,选择临界稳定区参数组合,可以看出当给定二阶临界稳定的参数激励,相应模态被激发(虚线),并一直维持临界稳定状态。在阻尼的作用下,其他模态随着时间推移逐渐降低,但由于模态之间相互耦合,并不会消失;从图4-c)看出,选择稳定区参数组合,由于阻尼的存在,随着时间推移,各阶模态最终消失。

3.2 阻尼对隔水管参激稳定性影响

当不考虑阻尼,隔水管参激方程变为式(9),利用同样的方法对方程降阶处理和求解,得到不考虑阻尼的T-a平面,图5-a)。黑色实线表示无阻尼下临界稳定曲线,黑色实线以上区域表示不稳定区,黑色实线下方区域表示稳定区。为了方便比较阻尼对参激振动的影响,图5-a)中红色虚线为阻尼c=0.2的临界稳定曲线,可以看出阻尼的存在有效地扩大了隔水管参激稳定区域。

为了分析阻尼大小对稳定区的影响,选取0.2、0.3、0.4、0.5四种阻尼进行计算,得到四种阻尼下的临界稳定曲线,见图5-b),可以明显地看出随着阻尼的增大隔水管参激稳定区增大。

(9)

表3隔水管前十阶振动参数

阶数n=1n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8n=9n=10频率ωn/(rad·s-1)0.140.280.420.570.720.881.051.221.391.57周期/s45.322.4114.8010.988.677.126.015.174.524.00主不稳定区22.6511.207.405.494.333.563.002.592.262.00

a)不稳定区

b)临界稳定区

c)稳定区

a)有无阻尼的影响

b)不同阻尼的影响

4 结论

1)将隔水管系统简化为两段铰接的梁,采用微元法建立了隔水管横向振动控制方程,考虑隔水管轴向力周期性变化,利用主坐标变换法得到隔水管系统的Mathieu方程。

3)阻尼的存在使得隔水管参激稳定区域增加,并且阻尼越大,稳定区越大,因此在设计隔水管时增加横向振动阻尼,在一定程度上可以有效避免参激共振。