素数的来源与“1-1”定理

程中战

一、定义

两个正整数集合的各元素没有共同的分解质因子，称这两个集合互质。

例，A={3 6 7 21}，B={5 11 13 17 25}，集合A与B互质;

一个正整数集合的各元素与一个正整数没有共同的分解质因子，称这个正整数与这个集合互质。如上例中，5与集合A互质;

集合的所有元素的连乘积称为集合的乘积，例，集合A={3 6 7 21}，集合A的乘积为

A=3×6×7×21

二、倍数公理

把正整数集合A适当分成两个互质的集合B与C，有x=B+C， y=B-C，则x、y与集合A互质。例，A={2 3 5 6 7 11 13}，B={5 7 13}，C={2 3 6 11}，

x=B+C=455+396=851=23×37， y=B-C=455-396=59，显然，851，59都与集合A互质。

三、素数的生成表达式

连续素数幂的集合A={1 2a 3b 5c 7d 11e 13f…pi}，幂指数a、b、c…i为非负整数，把集合A任意分成两个集合B、C，有x =B+C，y=B-C ，则x、y一定是新素数或是若干个新素数的乘积。

特别地，当小于等于■（或■）的最大素数为p1，而又p1小于等于 p时，x（或y）一定是素数。

例，A={22 33 5 7 11 13}，B={{22 33 7}，C={5 11 13}，x=1471，y=41

因为■=6.403，5<6.403，5<13，所以，41一定是素数。

A={2 3 5 7 11 13 17 19 23}，B={{3 13 17 23}，C={2 5 7 11 19}，x=29879，y=619

因为■，23<24.879，23=23，所以，619一定是素数。

四、素数的来源

1+1=2， 2+1=3，把1看成是特殊的素数，这样素数的最初集合为A ={1 2 3}，把A一分为二，有2×3±1=7， 5 这样素数的集合扩展为A ={1 2 3 5 7}，再把A一分为二，有3×7±2×5=31，11;2×5±3=13，7。 用这种方法继续扩展素数集合，就可以得出所有的素数。这个过程可表为口诀，1生2，2生3，3生万数。显然，运用倍数公理及素数的生成表达式直接就证明了素数有无穷多个。

对于每个大偶数2n（2n>4）总存在p1与p2关于n对称，其中p1、p2为奇素数，有p1=n+k，P2=n-k，即2n=p1+p2，例，n=210，■=14.491，小于14.491的最大素数是13，从2～13的所有素数是 2 3 5 7 11 13，  210的分解質因子是 2 3 5 7，那么210±11×13=353， 67是两个素数，210±13=223，197也是两个素数，所以，2×210=420=353+67=223

+197

五、“1-1”定理

任何一个偶数（包括0）都可表示为无穷多对不同的奇素数之差。

关键词：孪生素数，类孪生素数，n生素数。

孪生素数：差为2的两个奇素数;

类孪生素数：差为n的两个奇素数（n为偶数）;

n生素数：即类孪生素数，例如，差为4的两个奇素数称为4生素数，差为6的两个奇素数称为6生素数，

证明：在素数数列1 2 3 5 7（p中，假设p是最后一个素数，据倍数公理则有：

（1）2×3×5×7×（×p±1必为一对孪生素数;

（2） 3×5×7×11×（×p±2必为一对差4的素数;

（3）2×5×7×11×（×p±3必为一对差6的素数;

（4）3×5×7×11×（×p±4必为一对差8的素数;

（5）2×3×7×11×（×p±5必为一对差10的素数;

（6）5×7×11×13×（×p±6必为一对差12的素数;

……

一般地，1×2×3×5×7×11×…×p±k必为一对差2k的素数。k为正整数，连乘积中不含k的质因子。假设p是素数数列中最后的一个素数时，必然存在最后一对孪生素数、四生素数、…n生素数，然而，通过上述计算式又可得出新的一对孪生素数、四生素数、…n生素数，所以，孪生素数、四生素数、…n生素数是无穷多的。又因为素数无限多，所以，素数p-p=0也无限多。

因此，任何一个偶数（包括0）都可表示为无穷多对不同的奇素数之差。

故，“1-1”定理成立。