在不同位置的投篮决策问题

袁唯达

【摘要】篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动。篮球的得分方式中很重要的一种就是中远投。在当今的各大篮球赛事里，中远投射能力已越来越成为衡量一名选手综合能力的决定性因素。据此，本文依据建立二次函数，反比例函数模型，经过推理计算，可以得出投篮的最佳出手角度和速度。

【关键词】投篮;决策;角度;速度

一、问题描述

在篮球比赛的过程中，运动员的投射能力是衡量一名选手综合能力的决定性因素，投篮的命中率会对比赛的结果造成直接巨大的影响。所以，投篮是篮球的核心技巧。所以，作为篮球运动员或是篮球爱好者，在进行篮球训练的时候需要一个投篮标准，以便更高效地提升投篮能力。因此，我们认为在每个出手点，都存在投篮的最优决策。球员可以在训练时反复按照最优解进行练习，从而提高投篮能力。

投篮决策问题具体分为出手速度与出手角度两方面，这两方面我们可以用斜抛运动相关知识进行计算。但在实际投篮中，投篮的稳定性同样需要考量。我们探究的最优决策，是要在相对稳定的情况下，篮球入框角度越大，投篮的命中率就越高。

我们以运动员的实测数据去估计稳定性函数的形式。因为投篮决策受到入框角度？琢和稳定性两方面影响，所以我们以P=tan？琢·W的形式设立目标函数。通过优化目标函数P，从而得出出手速度V与出手角度？兹的最优解。

二、模型的建立与假设

1.数据

（1）标准篮球场：为了统一长度，本次建模与国际篮联的主要正式比赛所规定的要求一致：如图1所示：

（2）出手速度为V，篮球入框的角度为？琢，出手角度为？兹，出手点与篮筐的水平距离为x，出手点与篮筐竖直距离为h=1.75m，从出手到求落入篮筐的时间为t，重力加速度g取10m/s2。

2.合理假设

（1）忽略篮球在空中运动与空气的摩擦、篮球与篮筐的摩擦等各种阻力的影响，并假设篮球在空中不旋转，由此可以认为篮球在空中的轨迹为抛物线。

（2）忽略篮筐的面积和篮球的体积，将篮球、篮筐均看作为质点。

3.目标函数

篮球入框的角度越大，命中率越高。所以tan？琢越大则命中率越高。而从实际情况出发，出手速度越大，投篮的稳定性也会随之下降。因此我们构造目标函数，

P=tan？琢·W

其中？琢为入筐角度，W为出手动作的稳定性。

我们首先对出手稳定性函数进行估计。

在这里我们引入NBA顶级射手Curry的数据（如图2）。从此图中我们可以统计投篮命中率随距离变化的情况，并用以估计稳定性函数随距离变化的趋势。

作为当今篮球界的顶级投篮高手，我们假定Curry的出手合理，动作规范，受防守影响较小，那么他的投篮命中率的变化趋势可近似看作正比于投篮的稳定性。

我们将投篮数据按照到篮筐的水平距离划分为七个区域，并对这七个区域的投篮命中率进行统计，得到的数据如表1。

将投射点到篮筐的可统计距离等距划分为7个区域，并通过命中点个数占总投射点个数的百分比，计算出每个区域的命中率

我们用反比例函数估计投篮命中率随着距离变化的趋势，得到如下的拟合结果：

其中横轴为投篮出手点到篮筐的水平距离，纵轴为投篮命中率。蓝色圆圈标记为Curry的实际投篮命中率数据，绿色曲线为按照反比例函数估计的结果。

通过matlab平台进行拟合，得到的函数表达式为：

命中率（x）=■+0.313

从图3中可以看出，反比例函数很准确的描述了前四个数据点的投篮命中率。然而在之后的数据点上偏差较大。在实际情况中，由于球员有可以针对三分线距离进行的投篮训练，以及防守队员针对三分线区域的防守策略也有变化，故自然会导致在不同距离范围上投篮命中率造成偏差。大体上我们可以认为反比例函数能够较为准确的描述投篮稳定性的变化趋势。

在我们的研究中，我们用V（x，k）=V0+k·x的模型来估计出手速度随着距离的变化。其中V为出手速度，x为出手点到篮筐的水平距离。V0为在篮下投篮所需要的出手速度，根据物理竖直上抛运动相关知识，可得g，带入数据h=1.75m，Vxt-■gt2=Vsin？兹t-■gt2=h得xtan？兹-■=h。k描述了出手速度随着距离变化的剧烈程度。此模型表示出手速度随着距离的增加而增加，符合实际的情况。我们可以假定，出手速度增加越快，投篮动作越不稳定。故可以认为参数k越大，稳定性越差。由距离与出手速度成二次函数关系，所以我们选择k2的反比例函数的形式估计稳定性函数：

W（k）=■

接下来需要对投篮的入筐角度？琢进行推导。我们忽略各种阻力的影响，并假设篮球在空中的轨迹为抛物线，将篮球、篮筐均看作为质点。图4为篮球投射轨迹图像：

以出手点O为坐标原点，以水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立平面直角坐标系

我们规定出手速度为V

应用物理的斜抛运动知识，我们将出手速度正交分解为竖直方向与水平方向：

（1） 竖直方向出手速度：

Vy=Vcos？兹

设出手点与篮筐的水平距离为x，出手到求落入篮筐的时间为t

对于竖直方向有：

 Vyt=Vcos？兹t=x

（2）水平方向出手速度：

Vx=Vsin？兹

設出手点与篮筐竖直距离为h，重力加速度为g，且假定g不随高度变化而改变

对于水平方向有：

 Vxt-■gt2=Vsin？兹t-■gt2=h

整理（1）和（2）可以得到：

 xtan？兹-■=h

根据公式：sin2？兹+cos2？兹=1

我们又可以将其变形成为：

xtan？兹-■·■=h

xtan？兹-■tan2？兹-■=h

整理得：

 tan2？兹-■tan？兹+■+1=0

利用二次函数求根公式，可得

 tan？兹=■±■

接下来，我们去构建入框角度？琢的正切值与出手速度的关系，即可建立入框角度？琢与出手角度？兹的关系

篮球在空中的

竖直方向速度：

V'y=gt-Vsin？兹

因为我们忽略空气阻力的影响，所以水平方向速度恒定：

V'x=Vx=Vcos？兹

篮球入框的角度实际上即为该点速度的方向与篮筐水平面的夹角：

所以，根据上文可得：tan？琢=■=■

通过上文（2），我们可tan？琢以推导出：gt=■

将其带入表达式中，可得：

因为

所以：

4.数值模拟

本文中，我们用matlab平台进行数值模拟。针对目标函数，对每一个水平距离遍历参数的取值，寻找最优解。

例如当距离篮筐的水平距离为时，得到图5：

横轴为参数k的取值，纵轴为目标函数的取值。当k=0.87时，目标函数取得最大值。

当在某个距离位置x0时，取定了目标函数的最大值所对应的参数k=km，即可由此计算此时的最优出手速度Vm和最优出手角度tan？兹m：

Vm=V0+km·x0

由此得到的最优解结果如表2。

表2表示通过数值模拟得出的到篮筐的不同水平距离，对应的出手速度的最优取值和最优出手角度。

三、结论

本文通过设立出手速度函数V（x，k）=V0+k·x，以及通过数值模拟估计稳定性函数，从而拟合出目标函数P=T（x，k）·W（k）。经过一系列推导，求得每个出手点都有所谓投篮的最优解，并绘制的有参考价值的表格（表2）。球员可以在训练时参考表格中最优解给出的出手速度和出手角度进行反复训练，可能会对提高投篮能力有所帮助。

但本文还存在一些可以优化的环节。首先本文忽略了正常情况下必须要考虑的阻力的影响，并将篮筐和篮球质点化，忽略篮球进入篮筐的位置对命中率的影响，这会使得数值模拟的结果与实际情况存在偏差。

此外，投篮稳定性函数是一个极为复杂的函数，不仅仅是出手速度会对它造成影响，场上防守队员的针对性防守，干扰，以及个人肌肉力量，身体素质不同等诸多现实因素还会对稳定性造成影响。本文所估计的W（k）=■只是一个较为理想化的函数。数值模拟的结果在距离较远时，得出的出手速度略高于普通运动员常用的出手速度，这就是因为我们对稳定性函数的估计尚不准确。在后续的研究中，需要针对稳定性函数加入更多影响因素，进一步将稳定性函数的准确性提升。

参考文献：

[1].https：//zhidao.baidu.com/question/265750163750918005.html 篮球场标准尺寸.

[2].http：//blog.sina.com.cn/s/blog_403c36fe0102wh8d.html 关于库里投篮的统计分析.

指導教师：王清礼（1986.7-）汉，山东省平度人，职称：中学数学一级教师，学位：工学博士，专业：核科学与技术。