基于Wigner-Ville分布的混沌信号时频特性研究

杨海博，刘子骜，李琳

（中国电子科技集团公司第二十研究所，西安 710068）

0 引言

研究发现，混沌现象普遍存在于自然界之中，混沌运动是许多非线性系统的典型行为。混沌以其拥有的诸多天然优良特性而倍受关注，并在生物学、物理学、气象学、电子学、信息科学、地质学、经济学等众多领域中得到了广泛和成功的应用。

自从混沌理论在微弱信号检测方面进行尝试以来[1]，国内外很多学者投入到该领域的研究之中，使得这种检测理论得到了不断完善和发展。文献 2提出了混沌运动具有确定性运动所没有的几何和统计特征。文献3利用人工神经网络方法研究了混沌噪声背景下目标微弱信号的提取。文献4给出了一种新方法，它运用Duffing谐波振荡器进行分析并用它对频率进行高精度的估计。文献5新三维自治混沌系统及其动力学性质研究。但至今为止，对于混沌信号的时频特性尚缺乏系统的研究，导致混沌信号和噪声的分离“举步维艰”。

Wigner-Ville分布是分析时变信号的重要工具[6]，常常被应用于时变信号的处理，具有高分辨率、能量集中性和满足时频边缘特性等许多优良特性。本文对混沌信号进行Wigner-Ville处理，研究混沌信号频率能量分布。最后按频率能量分布将混沌信号分为了三种类型。为选用有针对性的分离混沌信号和噪声的方法鉴定了理论基础。

1 数学模型

人们提出了大量的混沌数学模型，每一个混沌模型都有自己的“个性”，而应用于不同方面。针对本文研究目的，仅介绍 Lorenz、Henon、Rossler三种混沌数学模型。

图1 混沌吸引子

1.1 Henon模型

1964年，法国天文学家Henon从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发而被提出，Henon数学模型一般表达式如下：

其中，a、b为常数。

当a、b分别取值为 1.4、0.3时，其图像呈现混沌状态，其图像如图1（a）。

1.2 Lorenz模型

气象学家洛伦兹在20世纪60年代初期，对于一个强化的气候模型进行计算机实验发现，该数学模型形式如下：

其中，r、σ、b为常数。

当r、σ、b分别取值为 16、4、45.92时，其图像呈现混沌状态，其图像如图1（b）。

1.3 Rossler模型

Rossler吸引子由Rossler于1976年提出。该数学模型形式如下：

其中，d、e、f为常数。

当d、e、f分别取值为0.2、0.2、5时，其图像呈现混沌状态，其图像如图1（c）。

2 Wigner-Ville分布

时频分析是一类描述信号谱成分随时间变化的研究方法，其以某种方式同时描述信号在时间和频率的能量或者密度，最终目的是建立一种分布，以便能在时间上表示信号频率的能量或者强度。

Wigner-Ville分布是时频分析的重要理论，其具有很多优良的性质。对于信号x(t)，其Wigner-Ville分布（简称为WVD）定义为：

信号x(t)的瞬时相关函数表示为：

从式（5）可以看出，信号x(t)的WVD分布是其瞬时相关函数r(t,τ)的傅利叶变换。

则式（4）也可以表示为：

对式（4）两边进行积分则：

以上计算可以看出，即可得到WVDx(t,ω)在某一频率段内对频率Ω进行积分，结果为信号在t时刻的瞬时能量。

设信号x(t)的傅利叶变换为X(ω)，则WVD分布也可以用解析信号的频谱表示如下：

对于式（6）两边同时对时间t进行积分：

以上计算可以看出，信号x(t)的WVD变换WVDx(t,Ω)在某一频率段内对频率t进行积分，结果为信号在Ω时刻的瞬时能量。

综上分析表明，WVD变换是把过去某一时间信号乘以未来某一时间信号，再以时间差为自变量对两个信号的乘积求傅利叶变换得到。可以看出，WVD不受短时傅利叶算法中时频精度互相矛盾的限制，最大程度地利用整个时域信号，具有高度的时频聚焦性能。对于单个信号而言，WVD在二维域中能准确地反映信号能量随时间和频率变化的情况。单频周期信号的WVD分布如图2，噪声的WVD分布如图3。

图2 周期信号时频分布

图3 噪声时频分布

3 混沌信号时频特性

混沌信号频谱是时变的，通过傅利叶变换而得到的频谱不易分辨混沌信号频率分布特性，这为从噪声背景分离混沌信号带来了极大困难。

WVD是时频分析中的重要理论，具有良好的集聚性，可以清晰的观察到信号频率能量在时间轴上的分布。对于混沌信号进行WVD变换，便可以得到混沌信号频率能量在时间轴上的分布，分析各个混沌信号频率能量分布规律，研究混沌信号时频分布特性。

本文有针对性的选择 Henon、Lorenz、Rossler三种混沌吸引子，按照式（1）、式（2）、式（3）取值，分别产生混沌时间序列 6000个点，去掉前面5000个非个点，利用式（4）对剩下1000个点进行WVD变换，并进行仿真分析。

Henon三维混沌吸引子通过WVD变换，时频分布如图4。

图4 Henon吸引子的时频分布

由图4可以看出，Henon吸引子频率能量几乎布满整个频率，杂乱无章，无任何规律可循。对比图2，可以看出Henon吸引子频率能量分布于噪声极为相似，所以设置数字滤波器难以分离混沌信号与噪声。

Lorenz三维混沌吸引子通过WVD变换，时频分布如图5。

图5 Lorenz吸引子的时频分布

由图5可以看出，Lorenz吸引子频率能量主要分布在0～0.05Hz频域内的低频带，而且0 Hz开始到0.05Hz逐步递减，消失的边缘处频率能量零散的分布，直到彻底消失。可以设置数字滤波器，滤除频带以外的噪声，从而分离混沌信号与噪声。

Rossler三维混沌吸引子通过WVD变换，时频分布如图6。

图6 Rossler吸引子的时频分布

由图6可以看出，Rossler吸引子频率能量分布主要分布在0～0.05Hz频域内的低频带，主要集中于一条频率线上，并向两边逐渐减弱，而且零散的分布。此外，0～0.05Hz频域以外存在极为少量的能量点。对比图1，可以看出Rossler吸引子频率能量分布与周期信号类似。可以设置数字滤波器，滤除频带以外的噪声，从而分离混沌信号与噪声。

通过以上分析可以看出图4频带为宽带，与图3噪声信号的WVD分布极为相似，可以将其称之为宽带噪声型混沌信号；图5和图6混沌信号的频率能量主要集中在0～0.05Hz频率内，即其为低频窄带，此外图5频率能量沿0～0.05Hz频域逐渐减弱，可以将其称之为低频窄带渐近型混沌信号；图6能量主要集中在一个频率线上，可以将其称之为低频窄带类周期型混沌信号。

4 结论

本文通过Wigner-Ville时频分析法，研究了三种混沌信号时频特性，证明了并非所有的混沌信号都具有窄带性。按频率能量分布，将混沌信号分为三种，分别为：低频窄带渐近型、低频窄带类周期型、宽带类噪声型。通过对混沌信号频率能量的分类，给出了混沌信息能量的分布情况，为后续混沌信号的滤波提供基础。