指向学生核心素养的数学活动经验教学策略探究*——以“球的表面积”一课为例

(高邮中等专业学校,江苏 高邮 225600)

我国学生发展核心素养包括三个维度、六大指标，科学精神和学会学习是其中的两个重要指标.“如何培养学生的科学素养、教给学生正确的学习方法”也是数学教学的重要内容，在数学课堂中通过开展系列数学活动进行深度教学，让学生不仅掌握符号知识还厘清知识的来龙去脉，掌握数学知识的正确探究方法与路径，感受科学家的科研精神，感悟数学思想，这也应该是数学一线教师课堂教学追求的目标.

1 数学课堂开展数学活动教学的意义

数学是思维的体操，在数学课堂中通过开展丰富的数学活动能够让学生学习到数学知识、掌握科学的探究方法、发展数学能力、体会数学思想、感悟科学精神、形成关键能力和必备品格.

1.1 当下数学课堂教学现状

新的课改已经实施多年，许多教师知道以学科为本位的课堂教学有很大的弊端，知道仅仅把数学知识和基本技能的传授作为唯一的教学目标是不合适的，知道发展学生的学科素养对于学生的终身发展有重大意义[1].但在教学实践中，许多教师未能将先进的教学理念与教学行为有效结合，相反由于受应试教育的影响，仍然有许多教师只考虑自己如何教得顺手，只满足于数学事实如何讲得明白，而缺少在课堂教学中就问题如何探究、困难如何解决、在探究和解决问题的过程中怎样进行有效交流和反思等组织数学活动，课堂教学中缺少数学活动的组织[2].

1.2 从“经验学习”理论看数学活动经验对教学的影响

上世纪80年代，美国组织行为学家科尔比教授，在对杜威、皮亚杰、勒温等人关于经验学习研究理论的基础上，提出学习领域中广泛应用着经验学习理论.科尔比认为：知识是经验的构成与再构成，学习是“始于经验、然后回归于经验”“改造或者转化经验、创造知识”的过程[3].从“经验学习”理论看数学活动经验对教学有以下3点影响：

1)拓展认知结构.皮亚杰、布鲁纳和奥苏贝尔等都一致强调认知结构的重要性.简单地说，认知结构就是学生头脑中的知识结构，是学生在某一学科的特殊知识领域内观念的全部内容及其组织.信息加工的认知理论表明，数学活动经验包含了认知结构中的策略性知识和程序性知识.数学活动经验的累积和丰富使得其逐步显性化，并有利于学生形成新的认知经验，从而扩展了他们的认知结构.学生已有的数学活动经验越多，在学习新知识时，已有经验与之联系就越有效越密切，同时学生能够快速地从大脑中搜索出有用信息——知识经验，判断出新知识的学习方法，同化新信息，从而使得学生的认知结构不断扩展和完善[4].

2)优化教学设计.仲秀英教授认为，学生的数学活动主要是在教师指导下、在一定课堂情境中进行的有限制和有条件的数学活动，是以完成某一任务为目标，通过做、视、听、说、思等形式，涉及知、情、意、行全面参与的数学行为活动[5].维果茨基把学生现有的发展水平(即独立活动时解决问题所能达到的水平)与可能发展的水平(即通过学习所获得的水平)之间的差距称为学生的“最近发展区”.教师在教学设计过程中不仅要考虑到学生的最近发展区，还要考虑到学生已有的数学知识与新知识之间的联系，考虑到学生已有的数学活动经验在学习新知识时发挥的作用，考虑到每个学生所拥有的数学活动经验是不一样的……这样的教学设计必将是多层次的、多样的和多选的，是有利于不同群体学生的创造性学习[6].

3)生成教学资源.数学活动经验具有很强的个性特征，涉及个人感悟数学的水平.在开展数学活动的课堂教学过程中，必然会产生师生之间、生生之间对同一问题的不同理解和意见，这些不同视界的交织，将生成新的富有意义的教学资源.由于师生的知识结构、文化背景、人文底蕴和活动经验不一样，常会产生思想和思维的碰撞，在冲突中发生有意义的争论，形成默契的合作，进行流畅的表达，最后形成新的学习感悟，达成新经验的认同.

1.3 开展数学活动教学是发展学生数学核心素养的应然选择

许多专家认为，数学活动是具有教与学目标的学生积极参与的数学学习活动.数学活动经验比数学符号知识更重要，是学生学习后续数学知识的基础，是学生数学核心素养发展的基石.

学生核心素养是可以通过后天的学习形成和发展的，数学课堂教学应该以学生的数学核心素养的养成为目标.学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力及数据分析能力等具有多层次、多层面的内涵，这些能力的获得不是数学课堂教学中学生知识的掌握和技能的训练就能实现的.作为后天习得的结果，学生获得的主要途径应该是课堂中的一系列有意义的数学活动，因为真正意义上的数学活动过程是学生选择、建构和反省的过程，是建立在学生已有的经验基础之上的活动过程.因此，在数学课堂中开展数学活动，是发展学生数学核心素养的应然选择，学生数学活动经验的获得是学生数学核心素养得到提升的必然条件[7].

2 “球的表面积”一课教学案例对数学活动经验教学的启示

为了研究的方便，笔者选择了2017年江苏省青年教师教学大赛一等奖的教学设计案例“球的表面积”进行探讨.

2.1 “球的表面积”一课教学过程简介

为了方便分析，本文仅对“球的表面积”一课中探究球表面积公式部分的教学概况进行介绍.

本案例共设计了6个教学环节，从“球形建筑”引入，激发学生思考：为什么生活中会有那么多的“球形现象”呢(露珠是球形、许多植物果实是球形、寒冷地区大型动物长得圆乎乎的……)？让学生经历猜想、交流、验证，原来这些现象都与“球的表面积”有关.从生活中的常见现象入手，把问题“数学化”，让学生感受到生活中处处有数学，培养学生用数学的思维思考世界的习惯.球的表面积怎么求呢,公式是什么,如何推导……教师鼓励学生动手尝试,学生利用“已有经验”模仿圆柱、圆锥的表面积公式进行推导.有的学生把乒乓球剖开，有的小组把苹果看成一个“球”把苹果皮削下来，但是由于球的表面展开后不是一个平面(苹果皮螺旋连接且有一定的弯曲度),学生的“已有经验”解决不了新问题.教师先肯定学生“转化”的思想，然后鼓励学生不要放弃，继续探究，并提示学生回顾刘徽的“割圆术”，学生在教师的提示下，受割圆术思想的启发:如果把削下来的苹果皮剪得足够小，就可以把他们看成若干个小平面，这些小平面之和就近似等于苹果的表面积了.分组按照形成的思路进一步深入探究，形成解决问题的方法和思路.利用三维动画演示，把球看成若干个“准锥体”,当这些“准锥体”的底面足够小时，就可以把他们看成棱锥，这些棱锥的体积之和就等于球的体积，再通过代数计算推导出球的表面积公式，运用球的表面积公式解决实际问题.学生感慨我国古代数学家的伟大，体会今后遇到陌生的问题，可以尝试转化成已有知识来解决.

2.2 “球的表面积”一课教学的评析

“球的表面积”这节课的教学，是一节典型的以学生自主探究为主、教师引导为辅的数学活动教学课.其中学生通过剪开乒乓球、削苹果皮、把球分割成若干个“棱锥”等活动探究球的表面积.这个操作活动是外显的数学活动，学生在剪、削、割等操作过程中经历了体验、交流、反思、运用数学思想和方法(极限、转化等)，而学生自我建构球的表面积公式等活动则是内隐的数学活动，这种外显和内隐相互交织的活动促进了学生对本节课知识内容的掌握、数学活动经验的积累和数学素养的提升.在这两种活动的交互过程中，学生的活动始终围绕着一条主线来探究，就是如何“化曲为平”.

在教师抛出“球的表面积怎么求呢，它的计算公式如何推导”后，学生的第一反应是模仿圆柱、圆锥等几何体表面积公式的推导方法，将其展开得到一个规则的平面，从而得到其计算公式.但是由于球的表面展开后不是一个平面，因此简单模仿没有成功，受到“割圆术”“极限”思想的启发，如果“苹果皮”足够小就可以看成一个平面，这种“极限”思想和“转化”思想起到了关键性作用，进而再进一步把球看成若干个“棱锥”组成，这些棱锥的体积之和等于球的体积，利用代数方法，最终推导出球的表面积公式.

学生在沿着这条主线思路开展一系列探究活动的过程中，获得了丰富的猜想经验、判断经验、选择经验、验证经验、交流经验、反思经验、归纳经验、发展经验、问题解决经验等数学活动经验，理解了操作活动对象与数学对象之间的数学意义及逻辑关系，领悟了极限、转化等数学思想，获得了大量的数学体验，积累了丰富的数学活动经验.

2.3 “球的表面积”一课对数学活动经验的教学启示

本节课是一节典型的学生“在数学活动中体验与反思、在反思过程中体验数学活动”的活动式数学课.教师通过激发学生已有的数学活动经验，组织学生开展动手操作、反思、感悟、推导、总结、应用等活动，同时教师通过三维动画展示变化的动态过程，让学生经历球的表面积公式的探究、反思、推理和验证的完整过程，让学生在真实活动中体验、反思、总结，从而使得学生的主体性获得尊重，活动经验也得到了积累.本节课除了普通数学课教学所具有的“三维目标”特点外，在促进学生积累数学活动经验方面还具有以下6个特征.

2.3.1 教师信任学生，构建新型生态的数学课堂

在本课的教学过程中，教师对学生的“信任”和“放手”让学生自主进行“知识的探究”成为现实，为“球的表面积”一课由知识符号型教学转变为学生探究活动式深度教学以及学生“再创造”知识的深度学习提供了保障.教学过程中教师对学生的充分信任和及时鼓励让学生真切感受到自己探究的责任和能力，教师和学生相互信任的心理状态和环境氛围有利于课堂活动的顺利开展.信任是基于充分的了解和理解，若教师对学生已有知识和活动经验(已经掌握了圆柱、圆锥等几何体的表面积公式的推导方法，了解“割圆术”)不了解，对学生探究过程中的困惑(球的表面展开后不是一个平面)不理解，就不可能有教师对学生已有知识和活动经验的唤起(“割圆术”的思想等)，也不可能出现教师适时、适度引导和三维动画演示等技术支撑.当然，教师在课堂上的适度“放手”，并不等于课堂“放羊”，而是教师充分发挥学生的主体性，调动学生学习的主动性.教师在课堂上留有足够的时间，把知识的“再创造”权利交给学生去充分行使，从而让学生获得了丰富的活动经验[8].

2.3.2 利用“情境串”中所富含的“问题串”，开展目标一致的探究活动

本节课教学中，教师首先从学生熟知的生活情境(球形建筑)开始，然后过渡到数学经验情境(“球形现象”)，再从学生已有的数学经验情境转入到本节课要探究的数学问题情境(求球的表面积公式).这一系列的、连续的情境,从学生不熟悉的到熟悉的，从非数学的到数学的，看似比较零乱无序，却蕴含着学生思考、猜测、交流、验证、探究等活动的“问题串”，这些“问题串”的目标就是“球的表面积”公式的探究活动.本节课中情境串的设计从具体到抽象、从学生的感官到思维参与，符合学生的心智发展规律，也展示了数学活动经验教学要遵循从学生的“已有经验—直接经验—经验的符号性表象”的获取过程[9].

2.3.3 教师的适度点拨，保证了活动任务的挑战性

课堂教学中，学生在模仿其他几何体表面积公式推导(将几何体的表面展开得到一个规则的平面图形)失败时，部分心急的学生渴望教师能给予提示.如果此时教师就直接给予提示，比如将球面分割成若干个近似的小平面，那么学生后续的活动就不是真正意义上的探究，充其量只是一种验证而已[10].但教师没有直接给出提示，而是让学生回顾刘徽的“割圆术”，留有足够的时间让学生讨论、交流、反思和总结，学生在充分讨论、假想和探索的基础上，受到“割圆术”中极限思想的启发，完成了探究活动.教师的适度点拨和及时鼓励，有效促进了活动的开展，保证了数学活动任务的真实性和挑战性.

2.3.4 利用操作，对学生进行思维训练和数学思想、方法的感悟与体验

学生思维能力的发展离不开具体的操作，学生在具体操作过程中积累了数学活动经验后，数学思考、想象和发现才有可能[11].因此，数学操作活动是思维活动的媒介，学生在数学操作活动后才能从活动与现象之间提炼出数学核心内容、积累数学活动经验.要判断学生所开展的操作活动是不是真正意义上的数学活动、有没有积累了足够的数学活动经验，教师要考查学生能否用字母和数字等抽象的数学符号对具体操作对象进行数学化处理，并能进行分析、猜想、判断、验证、推理，明确探究活动之间的因果关系.在本节课的教学中，学生将削下来的苹果皮分割成若干块，然后拼成一个规则长方形，这时问题的探究似乎已经结束，教师的提问“球的表面积与球的哪个量有关,能否在刚才探究的基础上推导出球的表面积公式呢”既肯定了学生已有探究的结果，又激发了学生进一步探究的兴趣，使得学生理解了具体操作活动与思维训练的关系，促进了学生在具体活动中体会和感悟数学方法、数学思想，有利于学生的操作活动经验向抽象数学活动经验的有效转化[12].

2.3.5 让学生经历完整的活动过程，及时激活、提升学生的数学活动经验

真实有效的探究是学生在陌生的情境中能够利用已有的知识和经验分析、判断出新问题中蕴藏的有用信息并成功解决新问题的活动.引导并培养学生从已有知识中“提取”有用信息并成功激活相关知识经验、得出正确的探究思路和活动操作方法，是每一位教师应该追求的教学境界.在本节课的教学过程中，教师的课前谈话“为什么生活中有这么多‘球形现象’呢”暗示了这些现象与球的某一性质有关，这激发了学生的探究兴趣.“球的表面积怎么求呢，你能利用已有知识推导出球的表面积公式吗”暗示了学生的思考策略，并为学生有效开展数学活动指引了方向.在探究过程中，学生通过3个层次的探究活动把知识符号的学习转变成了数学活动学习.如，第一次剪开乒乓球、削苹果皮等直观操作，虽然没有成功，但是为球的表面积公式的推导提供了思路：把立体图形转变成平面图形.通过教师的引导、提示，学生交流、反思、猜想、验证、总结，体会到球的表面积可以转化成平面求解，实现了操作活动的数学化，确立了进一步的探究方向.第二次探究活动是围绕“如何使削下来的苹果皮变成一个规则的平面图形”等问题展开想象和操作活动，学生受“割圆术”的启发，充分体验了“化曲面为平面”和逐步逼近的“极限”思想，当学生把苹果皮剪得越来越小时，苹果皮就可以拼成一个规则的平面图形，这时学生通过观看三维动画展示，进一步把球看成是由若干个“准锥体”组成，当这些“准锥体”的底面足够小时，就可以近似地看成棱锥.随后，教师组织学生运用第二次探究中获得的现象、直观活动经验，利用这些棱锥的体积之和近似等于球的体积，从而用代数的方法推导出球的表面积公式，并用公式表示出来，解决了纯粹的数学问题.最后教师与学生对公式进行分析，“若要知道球的表面积，必须知道什么条件”“让学生通过计算相同体积球、圆柱、圆锥的表面积”来验证生活中存在“球的现象”是否具有数学依据，再一次提升了学生的数学活动经验.

2.3.6 有效利用信息技术手段，为学生提供“替代性经验”

信息技术教育手段的有效运用能有效激发学生参与数学活动的兴趣，同时也能提供逼真的生活情境，解决了因为缺少现实场景或手工操作难度大的活动而难以获取的直接经验，有效地补充了学生的经验体系.本节课中，学生把球面分割成越来越小(用苹果皮替代)时，“准锥体”就成了棱锥，此时“准锥体”的高就是球的半径，手工难以进一步操作，以致于最后只能靠想象完成，此时通过三维动画，直观形象地展示了“化曲面为平面”及“立体分割”的动态变化过程，学生在观察动画展示的过程中形成了生动的“观察经验”等替代性经验.这种观察的替代性经验有效弥补了直接操作经验的不足，完善了学生数学活动经验的内容.

3 指向核心素养的数学活动经验教学策略

数学的智慧形成于经验的过程中.研究表明，数学活动经验比数学事实显得更为重要，它是学生学习后续知识的基础，也是发展学生数学核心素养的基石.

3.1 通过“科学设计”激发学生参与操作活动的激情

数学活动经验一定是在活动中获得的，因此，设计一个好的数学活动是获得数学活动经验的关键所在.对于好的数学活动标准很多，但是有3点是核心：1)学生参与度高、参与热情高.一个数学活动设计得无论有多好，如果没有学生的积极参与也是不成功的，只有当学生热情高涨地参与其中，才能让学生在活动中积累经验.2)活动的设计要有一定的坡度，让每一个学生能够参与其中,要给学生提供一定的问题情境并由此设计系列“问题串”，要给学生积累活动经验提供广阔的探究空间.3)活动的设计要能够体现数学的本质，让学生在活动中能够积累数学活动经验而不是其他经验.

3.2 利用“做数学”让学生的思维经历操作活动的全过程

“做”的意义比较广泛，既有传统意义上的“动手操作”，也有现代意义的“做中学”“数学试验”等涵义.在课堂教学中教师要让学生亲自动手操作，亲历实验的整个过程，在“做”的过程中教师不能“代办”，而要留有足够的时间，让学生独立思考，激活学生已有的数学活动经验，让学生在“做”的过程中进行思维的训练，感悟与体验数学思维方法，促使学生在“做”的过程中发现问题、分析问题，并寻找解决问题的方法和途径，让学生真正参与到数学的探究活动中，让学生在“做”的过程中积累数学活动经验.

3.3 经过“尝试与反思”，实现操作活动数学化的提升

数学活动经验的获得不是学生参与和经历了数学活动就能自动生成的，它需要学生及时交流、总结和反思，需要学生主动对数学活动过程进行凝练，使获得的经验系统化、条理化和显性化.

在参与数学活动的整个过程中，学生虽然获得了完整的经验，但是，由此获得的经验仅仅是部分数学事实，且这些经验与具体的操作情境和操作对象联系紧密，显得比较模糊和杂乱，属于具有个体性与内隐性的、零散的、具体的、浅层次的数学活动经验.皮亚杰曾说过：“在感知运动性活动性的第一水平上活动获得的东西，并不是一开始就能在思维水平上表现的.儿童能够完成如搭积木这一活动，却无法用语言来描述这一活动的开展……思维总是停留在活动相当的水平上.”这种客观事实表明对参与的数学活动要进行及时讨论、反思，从中回味思维的方法和主要数学思想方法，评价它的价值和作用，以达到操作活动数学化.有时学生还难以独立完成，若要实现操作活动数学化，则需要在教师引导下进行及时有效的总结、反思，从而促进内隐的、无序的、零乱的个人经验进一步概括、抽象和明晰.因此，课堂教学中教师运用交流和反思等活动，有助于学生及时对所获得的数学活动经验进行整理，从而形成概括性的数学活动经验.

3.4 提供“替代性经验”，丰富操作对象

数学具有抽象性，许多数学活动中需要借助数学思维才能够正确地认识研究对象，但是由于中学生的认知结构和心智发育程度等因素，学生需要借助于一定的实物或模型才能直观感知数学对象完成数学活动，而数学教学中许多活动由于时空的限制及数学活动材料的缺乏，学生通过操作活动和现场感受获得的数学经验比较有限.美国著名教育家戴尔在《视听教学法》中提出了“经验之塔”，他认为当直接经验难以满足时，应当寻求“替代性经验”来弥补直接经验的缺失，以促使具体研究对象的意义得到扩展与丰富.

课堂教学中教师充分利用Flash、三维动画、仿真操作软件、几何画板等信息技术工具完成一些变化精细、复杂和抽象程度高的数学活动，超越了时空的限制，给学生创造了充裕的“替代性经验”，让学生在想象、观察、模仿操作等“替代性经验”中亲历了数学活动，拓展了获得数学活动经验的渠道，完善了学生已有的数学活动经验.