Carleman类模型光滑解的整体存在及渐近分析

陆小菲， 林春进

(河海大学 理学院，江苏 南京 211100)

1 引 言

本文中Carleman类模型为：

(1)

考虑Carleman类方程(1)的宏观量为粒子的质量和动量，分别定义为：

利用宏观变量ρε和jε，方程(1)改写为如下关于宏观质量及动量的方程组：

(2)

和初值条件

(3)

方程组(2)是一个带部分耗散的对称双曲方程组，其光滑解的存在性研究可以追溯到20世纪70年代[5-8].文献[9-11]讨论了含有ε的方程组的松弛极限，利用解关于ε的一致先验估计，获得解的渐近行为。本文借鉴文献[9-11]中的部分技巧，但没有使用Kawashima条件[12]，直接从方程组出发获得解关于ε的一致先验估计，进而得到光滑解的整体存在性，即：

其中c不依赖于ε.

在定理1的基础上，我们对解进行渐近分析.利用关于ε的一致先验估计，可以获得解收敛于非线性扩散方程的解，并且解以速度ε收敛，即本文的第二个结论：

定理2 假设定理1的条件满足，记(ρε,jε)是定理1中初值问题(2)(3)的唯一光滑解，设r(t,x)∈C(+;Hk()是如下初值问题

(4)

的唯一光滑解.则对于任意的0

其中c(T)只依赖于T,不依赖于ε.

2 一致适定性

2.1 初步转化

对方程(2)进行变量替换t=ετ，令：

忽略

中的ε、～,方程组可以写成如下形式：

(5)

和初值条件：

ρ(0,x),j(0,x)=ρ0(x),j0(x)=u0+v0,u0-v0

2.2 能量估计

令

由Sobolev嵌入定理，有下面不等式成立：

其中c为常数.

为了获得方程(5)光滑解的整体存在性，首先证明解的先验估计.

证明注意到

利用ρ的一致有界性，ραj2的积分可以被j的L2([0,T]×)范数控制，于是有：

(6)

对(5)两边关于x求偏导，将第一个式子两边同乘ρx,第二个式子两边同乘jx,并在[0,T]×上积分，再将两式相加：

则有：

(7)

然后对(5)的第二个式子两边同乘ερx,并在[0,T]×上积分，得：

(8)

利用Cauchy-Schwarz不等式和分部积分，两个积分分别估计为：

将上面估计代入(8)，利用不等式(7)，可得ρx的L2([0,T]×)估计：

(9)

综合(7)、(9)，得到关于ρx,jx的估计：

(10)

对(5)两边关于x求二阶偏导数，将第一个式子两边同乘ρxx,第二个式子两边同乘jxx,并在[0,T]×上积分，再将两式相加.过程与前面类似，得到：

(11)

对(5)的第二个式子两边关于x求偏导，并同乘ερxx,再在[0,T]×上积分：

类似前面的估计,对右端三项进行估计，得到关于ρxx的估计：

(12)

综合(11)(12)，得到ρxx,jxx的估计：

(13)

综合(6)、(10)、(13)，引理1证明完毕.

2.3 定理1最后的证明

证明利用引理1的结论，假设存在常数c0≥1，使得若ρ(τ,x),j(τ,x)∈C([0,T];Hk())是(5)的解，且满足Nε(T)≤1，则ρ(τ,x),j(τ,x)满足：

(14)

考虑初值条件ρ0,j0∈Hk()，使得假设方程(5)的整体光滑解不存在，且在有限时间T*>0处发生爆破，即对T0>0,有且对任意τ∈T0,T*,有

由于Nε(T0)<1/(2c0),则存在T1∈T0,T*,使得Nε(T1)<1/(2c0),利用(14)式，有Nε(T1)≤1/(4c0),由此产生矛盾.

这里参数c与ε无关.

这是在新的时间尺度下的先验估计，利用变量替换就完成了定理1的证明.

3 渐近分析

令(ρ,j)为(5)的光滑解，对于给定的与ε无关的初值，改变时间变量，令：

新变量满足下面方程：

∂tρε+∂xjε=0

(15)

(16)

3.1 极限方程

(17)

令(17)式左边ε→0,得到在D′+×中，有⇀0,将其带入到(15)式中，得到在D′+×中，有

(18)

令T>0,(15)式表明∂tρε在L2+;Hk-1上有界，此外，在C+;Hk中有界，因此在L20,T;Hk-1中有界，于是在H10,T;Hk-1上一致有界.我们得到：存在子列εn→0和使得H10,T;Hk-1且在H10,T;Hk-1上有：⇀则我们有且有ρεn|t=0=ρ0.

由经典结论表明，整个序列(ρε-r)在H10,T;Hk-1上弱收敛到0.且当ε→0时，在D′+×中有ρε⇀r.

令0

由于ρε的子列在C0,T;Hk′I中的极限值也是在分布D′0,T×I中的极限值.非线性扩散方程(4)在空间C0,T;HlI，l>3/2内存在光滑的整体解，参考[14]中第十五章.于是，在C0,T;Hk′I中，有ρε子列的极限等于r.因此得到ρε在空间C0,T;Hk′I中的收敛性，即：在C0,T;Hk′I中，有ρε→r.

3.2 收敛速度

运用流函数(Stream函数)[15]，证明定理2中的收敛速度估计.由前面的能量估计，我们知道ρε关于ε一致有界，jε在L2(+;Hk())上一致有界.

令r(t,x)为(4)的解，我们有如下方程：

(19)

将(16)式变为：

(20)

定义流函数

zε(0,x)∶=0

记右端三个积分为A、B、C，利用Cauchy-Schwarz不等式，分别估计为：

于是：

p(x)-p(y)(x-y)≥mx-y2,m=infp′(ξ),ξ介于x,y之间

这里c只依赖于T,与ε无关.于是有收敛速度估计：

4 结 语

本文讨论了Carleman类方程在常状态附近的光滑解的整体存在性，并收敛于非线性扩散方程的解.在能量积分的框架下，统一了Kurtz、Lions、Toscani等人的工作，并将α的限制去除.除此之外，通过流函数以及解的一致先验估计获得了Carleman类方程的解收敛于扩散方程解的速度，这是Carleman类模型渐近问题中首个关于速度的结论.