同时考虑启动压力和迂曲度的窜流函数及形状因子模型

何勇明, 熊 勇, 张 悦, 杨喜彦

(1.油气藏地质及开发工程国家重点实验室(成都理工大学)，成都 610059；2.青海油田公司 气田开发处，甘肃 敦煌 736200)

1 概 况

目前，裂缝性油藏在数目、产量及储量上都占有很大比例，因此，合理、高效地开发裂缝性油藏显得十分重要。要合理、高效地开发裂缝性油气藏，不仅要对裂缝进行识别、预测其分布及定量表征其参数[1]，而且要准确认识渗流机理和表达渗流模型。研究裂缝性油藏的模型渗流机理必然涉及到裂缝与基质间流体的交换，即所谓的窜流。窜流函数就是用来计算裂缝-基质间窜流量的，因此需要找到一个比较准确的窜流函数来指导生产。

G.I.Barenblatt[2]最早提出双重介质的概念且奠定了双重介质中普遍的流动规律。J.E.Warren等[3]将双重介质的概念引入到石油工程中并提出了形状因子的第一个表达式

(1)

式中：α表示形状因子；n表示裂缝套数；d表示裂缝间距。

H.Kazemi等[4]首先将形状因子应用到储层的数值模拟中，得到3套裂缝的形状因子为12/d2。

K.H.Coats[5]对3套裂缝提出了三维的形状因子为24/d2。此外，还有学者[6-7]也对形状因子进行了研究。

实践表明：大量的裂缝性油藏为非常规裂缝的空间组合系统[8]，且低渗透油藏呈现出严重的各向异性和非均质性。因此，裂缝的各向异性不可忽视。K.T.Lim等[9]提出了各向异性的窜流函数

(2)

同时，启动压力梯度是低渗透油藏区别于常规油藏的主要参数之一。He Yongming等[10]考虑天然裂缝性油藏中裂缝表面的粗糙度和裂缝本身的迂曲情况，得到了同时包含迂曲度与启动压力梯度的各向同性窜流函数。

(3)

其中：Δpg表示启动压力梯度；τ表示迂曲度。

上述研究对裂缝性储层的产能预测和试井解释起到了重要作用，但仍存在以下问题：目前大部分窜流函数与形状因子模型考虑的因素比较单一，可能难以符合裂缝性油藏的实际复杂情况。

本文在前人研究的基础上，既考虑裂缝性油藏中裂缝的非均质特征，又考虑迂曲度，提出了同时包含二者的新的窜流函数和形状因子。

2 模型推导

在双孔模型中，窜流量方程可用以下方程来描述

(4)

式中：q为孔隙度；Ct为综合压缩系数；t为时间。

可见，若求出压力对时间的偏导数，那么我们就能求出窜流函数。

对3组裂缝分割为边长为l的立方体基岩，若基岩中的流动满足达西定律的连续性方程，对微可压缩流体，其扩散方程为

(5)

其中：p为压力。

假设地层原始压力为p0，裂缝中压力为pf且保持不变(即定压边界)，所以初始条件和边界条件为

(6)

设mt表示t时刻进入基质系统的流体质量，m∞表示无穷时刻进入基质系统的流体质量，则对方程(5)，质量比解[11]为

(7)

又因为流体质量比可用密度变化来表示

(8)

又由流体状态方程

ρ(p)=ρ0(1+Cρ(p-p0))

(9)

式中:Cρ为流体弹性压缩系数。

则有

(10)

比较方程(10)的精确解和一级近似解(图1)可以发现：精确解与一级近似解基本吻合，故我们用级数首项代替精确解，即α=β=γ=0，得到

(11)

方程(11)对时间t求偏导数，则有

(12)

又由方程(11)有

(13)

图1 精确解与一级近似解比较图Fig.1 Comparison of exact solution with first order approximate solution

所以

(14)

将方程(14)代入方程(4)中，则有

(15)

方程(15)考虑启动压力，则有

(16)

式中：pg为启动压力。

方程(16)即为考虑迂曲度和启动压力梯度的非均质裂缝性油藏的窜流函数。

(17)

对比沃伦-茹特型窜流函数

(18)

我们得到各向异性的等价形状因子为

(19)

3 模型计算对比

将考虑迂曲度和启动压力梯度的窜流函数、考虑各向异性的窜流函数与本文的窜流函数进行比较(表1),可知本文推导的窜流函数为二者的综合，即同时考虑了迂曲度、启动压力梯度和各向异性。接下来进行合理性论证。

表1 窜流函数对比表 Table 1 Contrast of interporosity flow function

取值：dx=d=40 m,dy=30 m,dz=50 m,k=kx=1×10-3μm2,ky=0.8×10-3μm2,kz=1.2×10-3μm2,τ=1.3,ρ=0.85 g/cm3,μ=10 mPa·s,pf=15 MPa, Δpg=0.002 MPa/m(深度h=1 km),pg=2 MPa，将上面3个窜流函数计算结果进行对比(图2)。

图2 窜流函数对比图Fig.2 Diagram showing correlation of interporosity flow function

对比显示，本文与其他2种方法得到的窜流函数的结果是有差别的，K.T.Lim等[9]方法的数据线位于图中最上方，He Yongming等[10]方法的数据线位于最下方。因为本文同时考虑了二者考虑的因素，所以得到的数据线位于二者数据线之间，故本文方法较为合理。由于本文综合考虑的因素更多，故推导的窜流函数可能更加符合低渗裂缝性油藏实际。

4 结 论

窜流函数是研究裂缝性油藏渗流机理的核心，而前人提出的窜流函数考虑的因素一般较单一，可能难以符合低渗裂缝性油藏地下复杂的实际情况。本文在研读了前人著作后，主要做了以下工作：

a.针对低渗透裂缝性油藏，同时考虑启动压力、各向异性和迂曲度，推导了窜流函数和形状因子新模型。考虑的因素更多，可能就更符合油藏实际。

b.新的窜流函数和形状因子模型的计算结果与前人计算的结果虽有明显的差别，但介于二者之间，说明本文的窜流函数是合理的。