基于内容分析法探析三位数乘两位数笔算错例

陈佳璇

[摘要]学生的错例折射的是教与学的问题。基于内容分析法的视角研究错例，捕捉学生的认知困难，有助于调整教师的教学方法。依托典型错例类型及其主要成因，提出教学的五个改进策略，使教学活动更具有效性。

[关键词]笔算乘法;错例研究;内容分析法

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2019）35-0055-02

联合国教科文组织第十九次国民教育国际会议资料中指出：“应当研究学生所犯的错误，并把错误看成是认识过程和认识学生数学思维规律的手段。”在如此高端的教育国际会议中提到了学生的错误，错例研究的价值可见一斑。学生的每一个错误都是一次生动的提醒，错例折射的是教与学的问题。教师只有研究错例，了解学生的学习难点，才能及时调整教学手段和策略，弥补学生的认知缺陷。因此，典型错例的研究及对策探讨显得格外重要。

一、研究设计

1.研究对象

主要研究对象是广州市海珠区宝玉直实验小学四年级学生关于三位数乘两位数笔算的典型错例。典型错例的“收集卡”（共407份）发放于学生上完三位数乘两位数笔算的新授课和练习课之后。

2.研究方法

采用内容分析法，对407份三位数乘两位数笔算的典型错例的信息内容加以归类、整理、统计，并进行深层次分析，以期归纳出学生关于三位数乘两位数笔算的典型错例类型与成因，并据此提出相应的对策和建议。

3.分析维度

（1）分析繁多的笔算错例存在哪些共性，提炼出笔算错误的典型类型;（2）对于不同的错误类型，探究笔算错误的主要原因;（3）围绕笔算错误的成因寻找可行性较强的对策和建议。

二、研究结果与讨论

1.研究内容分析

三位数乘两位数笔算的基本步骤如下：第一步，先用第二个因数的个位乘第一个因数，积的末尾对齐个位;第二步，用第二个因数的十位乘第一个因数，积的末尾对齐十位;第三步，把两次所得的积相加。另外，因数末尾有0的竖式有简便写法。

通过对407份三位数乘两位数笔算的典型错例按出错步骤进行整理分类后发现，笔算第一步出错的占比例较小，为20.88%，第二、三步出错占的比例较大，共计79.12%。

学生有着不同的知识背景和思考角度，他们的差异是客观存在的。对同一个计算问题，学生由于认知水平和认知风格的不同，常常会得出不同的计算方法以及各异的计算错误。然而个性中存在着共性，错误主要集中存在于以下几个类型。

2.错误原因分析

从计算的要求来说，三位数乘两位数在小学阶段是最高难度的乘法运算了，学生出现错误也是正常。

分析样本时按出错步骤进行分类：笔算第一步出错较少，第二、三步出错较多。主要原因是大脑的记忆存储空间有限，刚开始计算时状态与思维较为清晰，而随着笔算的深入进行，大脑存储空间受限，对存储知识的调动卡壳或不流畅。因此在解答结构步骤较简单的题时，正确率比较高，而解答结构步骤较复杂的题时容易出错，且更容易出错在解答程序的后半段。这正说明了为什么低年级学生计算的正确率高，而中高年级学生计算的正确率不如低年级的原因之一。

仔细分析三位数乘两位数笔算典型错例的具体类型，造成上述错误的原因主要有以下三个：

（1）“乘法口诀”与“忽略进位”的错误原因属于旧知记忆混乱。在多步计算时，中间得数或者进位数字需要进行短时记忆，而小学生由于急躁、抢时间、怕麻烦，使得储存的信息部分消失或暂时中断，造成“记忆性错漏”。

（2）“将两次乘积相乘”和“积的对位”错误的原因属于知识负迁移。在笔算第一步和第二步时，学生熟练地将第二个因数的个位和十位上的数分别与第一个因数相乘，因此也会形成思维定式，将两次所得的积相乘。同样的，在之前笔算加减法的学习中，学生习惯于在书写竖式时“相同数位要对齐”，因此容易将第二次乘积的末尾对齐个位，以迎合感官上的“对齐”，导致积的对位错误。这种错误实质上并非概念不清，而是学生思维定式过强造成的知识负迁移。

（3）没写“0”占位和积的末尾“0”的个数出错的原因属于信息干扰。在小学生的自然数观念当中，“0”代表什么都没有。在这样的强信息干扰下，学生容易产生思维错觉：什么都没有，即什么也不用写，或可忽略“0”的个数。这正是算理不清晰的表现。对320x50的算理分析如下，320表示32个十，50表示5个十，因此所得的积表示160个百，所以积的末尾要添2个“0”。算理若清，则能减少强信息的干扰。

三、建议与思考

笔者围绕笔算乘法的典型错例及成因，结合长期的教学经验探析可行性对策。

1.鋪垫温旧知

（1）乘法口诀的复习：在每堂数学课的预备铃敲响之后，由班干部组织背诵乘法口诀，重点复习6、7、8、9的口诀，并形式多样化地开展：顺着背、倒着背、跳着背，以及开火车、小老师出题抢答等，训练学生的反应能力及熟练程度。在布置作业时，可要求学生在作业版面的页眉、页脚处默写口诀，每天默写一句。

（2）进位加的复习。“9加几”的和，个位上的数会比几少1，如9+5=14，个位上的4比5少1，因为5可以分成1和4，1+9凑整成10，10+4=14。以此类推，学生就能熟练掌握8、7、6加几的进位加的快速计算方法。

2.方法巧迁移

在学习本单元之前，学生已掌握了三位数乘一位数和两位数乘两位数的笔算。因此，可以利用旧知迁移，让学生自主探究三位数乘两位数的笔算，从而归纳三位数乘两位数的一般方法。充分发挥学生原有经验的作用，学生自然对算理和算法的理解就不会感到困难。

3.新知妙传授

向课堂40分钟要质量。例如，在“三位数乘两位数”的笔算乘法的第一课时中，结合线段图（如图1）引导学生理解：先用2小时乘每小时走145千米，计算出2小时的路程;再用10小时乘每小时走145千米，计算出10小时的路程;最后再把两部分相加求得12小时走的路程。进而引导学生思考和理解乘法竖式的计算及书写过程，并用朗朗上口的说理活动将乘法思路清晰化、外显化：145x12，先算个位2x145=290，积的末尾对齐个位;再算十位lx145=145，积的末尾对齐十位;最后把两次所得的积相加，得145x12=1740。

4.计算常巩固

计算的巩固练习要抓住学生的典型错误，在纠错中提高学生的计算能力。例如，在尊重学生个性差异的基础上，创设学生合作交流的平台，促其实现自我优化;开展形式多样的计算巩固练习，如每天早练或微信签到说理、每周计算小测、每单元数学小达人竞赛、数学小讲师活动等。

在信息化时代背景下，在班级微信群开展“微信签到”交互式的计算说理活动，打造“互联网+课堂”的新模式。该活动主要记录学生作业中的笔算说理过程。由于语音能长时间保存，方便学生反复聆听、学习同学的优秀案例，因此能促进学生之间积极、主动、个性化地学习，既规范了学生数学口头作业，还为家长提供了评价数学口头作业的标准，家长有“理”可依，家校合作变得更为高效。同时，教师也能通过导出功能方便快捷地检测学生作业的完成度。

5.知识懂应用

数学学习基于生活，又高于生活。创设生活情境导人问题，让学生学习了笔算方法后解决实际生活问题，有助于调动学生学习的积极性和主动性。

如图2，给出数学信息后，由学生自主提出问题，训练学生提出问题和解决问题的能力。在求解每一种蔬菜卖出的总价时，列出的三位数乘两位数的算式覆盖面较广，普通类型、中间有0的类型和因数末尾有0的类型均能体现。

“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”英国心理学家贝恩布里如是说。基于内容分析法的错例分析能准确捕捉学生的认知困难，有助于教师反思教学行为，调整教学方法，从而使教学活动更具针对性和有效性。

（责编罗艳）