U型学习：数学深度学习的一种样态*

在当下的小学数学教学中，表演、表面、表层的课堂教学现象还大量存在。因此，引导学生进行深层、深入、深度的学习，发展学生的学科能力，成为不少教师的教学追求。由此，笔者进行了“U型学习”的探索。以下本文拟对“U型学习”的内涵、特征及其在数学教学中的实践作简要阐述。

一、“U型学习”的内涵

“U型学习”是指学习者学习知识需要经历一个复杂的过程——还原与下沉、体验与探究、反思与上浮，这一过程恰似一个“U型”。从书本知识到个人知识，首先需要使书本符号知识与学生的个体经验建立关联，这就是知识的下沉过程。“U型”底部是学生对知识进行加工的过程，即对知识进行深度的探究、体验，从而形成对知识的深度理解，这是整个学习过程中最关键的环节。第三个环节是知识的上浮，当学生对知识进行深度探究后，要及时引导他们进行反思，促使他们将获得的知识与自己的意义系统对接，真正将书本知识变成个人知识。

二、“U型学习”的特征

1.意义性。“U型学习”强调学生多样化的学习投入，如经验投入、情感投入、思想投入和实践投入，主张让符号化的知识真正进入学生的意义系统，在学生心灵深处相遇、融汇、贯通，丰盈学生的精神世界，增长学生的智慧，使知识学习真正有意义。

2.建构性。“U型学习”强调知识的建构过程。要求教师对知识进行深加工，把准知识的核心内涵，引导学习者主动参与知识的发生、发展过程，由表及里，逐层建构，逐步领悟知识的结构，理解知识的本质。

3.发展性。“U型学习”强调学生是教学的主体。课堂教学需要促进学生在认知方式、情感体验、思想境界等方面发生变化，使他们的学科核心素养与关键能力得到提升，真正丰富课堂的教育涵养，提升课堂的发展性。

三、“U型学习”的教学实践

“U型学习”是数学深度学习的一种样态。在小学数学教学中开展“U型学习”，有助于教师引导学生更加完整地经历认知过程和情感过程，经历深度的探究、理解、体验、对话和反思过程，从而更好地发展数学学科能力。

（一）还原与下沉——建立关联

1.合理具象。

合理具象就是把原本只能想象到却看不到、摸不着，有时甚至很难说清的数学现象，形象化为看得见、易理解的具体事物或具体直观。数学教材中呈现的大多是抽象的数学概念、公式、符号，学生学习时往往会感到枯燥，经常会出现一知半解的情况。这就需要教师挖掘数学知识本身的特点，引导学生在抽象的知识与具体的事物之间建立联系，使他们实现意义学习。

例如：教学苏教版三上《三位数除以一位数》一课时，引导学生计算“536÷4”，根据前面学到的运算法则，学生基本都能一步一步计算出结果。但不少学生却说不出竖式背后的意义，不理解其中的算理。这时，就需要教师将这一知识具象化，借助具体的事物（如小棒图）来帮助学生理解。让学生将抽象的竖式与形象的小棒图相结合，数学知识就不再是抽象的符号了。

合理的具象具有启发性、形象性、易化性等特点，可以使难以捉摸的概念、法则变得能看到、能感受到，使复杂、深奥的事物简单化、浅显化，从而调动学生学习的信心和兴趣，使学生由表及里、由此及彼逐步接近知识本质。

2.还原生活。

抽象的数学概念是对生活现象、事物共性的符号化提炼，许多数学知识都有生活原型。数学的生活原型是指蕴含数学知识的生活背景、生活经验、生活事例、生活表达等，它是沟通生活与数学的桥梁和纽带。教师要努力找到数学与生活的有效链接点，善于提炼能促进学生数学学习的生活材料，唤起学生已有的生活经验，消除学生对数学知识的陌生感，使数学知识有效下沉。

例如：教学苏教版三下《两位数乘两位数》一课时，让学生在理解算理的基础上掌握算法，使算法和算理相融，是教学的重要目标。要做到这一点，就需要合理地还原生活，如面对“42×13”，可以设置这样的生活情境来引导学生计算：一箱牛奶42元，13箱这样的牛奶要多少元？学生列出算式后很容易就能想到：先算3箱牛奶的价钱，再算10箱牛奶的价钱，然后把3箱牛奶的价钱与10箱牛奶的价钱合起来。看似简单的口算过程却孕伏着笔算的算理，教师适时点拨：能不能将刚才的口算过程写到竖式中来呢？从而逐步完成从口算到竖式的过渡。这里，通过创设生活情境，使看似抽象的竖式算理变得可视化、意义化起来。

数学知识的理解需要基于生活原型这个根基，这个根基的丰厚程度决定着知识建构的质量。因此，教师应积极挖掘数学知识的生活原型，基于生活原型的直观性来促进学生理解抽象的数学概念，从而实现生活原型对新知建构的催化功能。

3.嵌入文化。

在数学教学中，如果能以一个精彩的文化故事给数学知识来一段“背景综述”，揭示数学知识产生、发展的过程，将有助于唤起学生的求知欲，引发他们的数学思考。因此，教师应努力挖掘数学知识中蕴含的文化资源，以期实现数学教学科学求真与人文熏陶的和谐融合。

例如：教学苏教版四下《确定位置》时，可以用这样一个故事引入：笛卡尔是法国著名的哲学家、数学家、物理学家，解析几何学的奠基人。一次，他想：能不能用数来确定一个点的位置呢？却始终不得法。有一天，他生病了，躺在床上还在反复思考这个问题：有什么办法能将点和数联系起来呢？突然，他看到墙角有蜘蛛在织网，蜘蛛网上有很多交点，这些点是横着和竖着的蜘蛛丝相交而成的。“有了！”他忍不住叫了起来，“用两个数就可以将点的位置确定下来了啊！”于是，笛卡儿最终发明了数对。为了更直观地表示，笛卡儿还把蜘蛛网简化成了网格，也就是我们学习的平面坐标系。教师引入笛卡尔发现数对的故事，使原本冰冷的数字变得有温度，温暖了学生的心田。

在数学教学中，如果简单地陈述数学概念、数学定理，似乎没有文化意味。但是，只要想想为什么要研究这些概念、定理，就会涉及数学的文化价值。依托丰厚的社会背景、鲜活的文化背景、数学发展过程中人类探索发现的精神力量来学习数学知识，就可以让数学知识变得有血有肉、有情有味起来。

（二）体验与探究——促进理解

1.开展数学活动，让学生经历知识的再创造过程。

数学学习是一个动态的过程。学生在数学学习过程中应开展大量的观察、实验、操作、假设、想象、推理、判断等活动，而不是被动地接受教材或教师给出的现成结论。教师要善于组织丰富、合理的数学活动，让学生经历数学知识的再创造过程，并引导他们主动进行数学思考，在探究过程中对知识产生深刻的理解。

例如：教学苏教版三下《长方形的面积》一课，教师应引导学生主动探究长方形的面积计算公式。首先，可以创设摆一摆的活动，让学生用小正方形任意拼长方形，并交流每个长方形一排摆几个、摆了几排、共用了几个小正方形、面积是多少等问题。在各组学生充分交流的基础上，让学生猜想：长方形的面积与什么有关？接下来可以进行三次验证活动——学生分别在长5厘米、宽3厘米，长10厘米、宽8厘米，长100厘米、宽50厘米的长方形中摆小正方形，并引导他们经历从摆满小正方形求面积，到只要沿着长和宽摆就可以推出面积，再到只要用长乘宽就可以算出面积的过程。这里摆小正方形的活动放大了探究过程，让学生经历了长方形计算公式的再创造过程，理解了面积计算公式的本质意义。

学生是积极的探究者。教师要善于创设探究活动，让学生自己去发现和感悟，这样，他们获得的将不再是抽象的知识，而是具体生动的知识，不仅是静态知识的增长，还有数学学科能力的显性增强。

2.深入对话交流，启迪学生进行深层次的思考。

有效的探究离不开师生的有效对话。有效的对话不是师生间简单的一问一答，而是学生在教师引领下围绕核心问题进行深入的思考和积极的表达，教师给予适当的启发、点拨、追问等，使学生的思维活动逐渐走向深入。这样的对话具有建构意义的功能，为课堂的意义增值提供了可能。

例如：教学苏教版三下《认识分数》，教师设置了猴子分桃的情境链。首先将1个桃平均分给4只小猴吃，问学生每只小猴吃到这个桃的几分之几，学生都能说出正确答案。之后，教师设问：把2个桃平均分给8只小猴吃，每只小猴又吃到这些桃的几分之几呢？出现了两种答案，教师反问：两种答案似乎都有道理，哪一种更加合理呢？经过思考与争辩，学生一致认为：只要看平均分成的份数和取的份数，与总个数没有关系，所以是。教师继续追问：为什么每次分桃的个数不同，每次吃桃的个数也不同，却都可以用来表示呢？核心问题串的引领启迪学生深入思考，他们对分数意义的理解逐渐深刻起来。

钟启泉教授指出：“对话性沟通超越了单纯意义的传递，具有重新建构意义、生成意义的功能。来自他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识被他人的视点唤起了，这样就可能产生新的思想。”因此，教师要在知识关键处、理解疑难处、思维转折处、规律探求处与学生深入对话，启发学生思考，把他们的思维推向纵深处。

3.建立多元表征，促进学生的个性化理解。

多元表征是指将数学知识用图形、符号、语言等多种形式进行表达。对数学知识进行多元表征，就是从不同的视角对数学知识进行视觉化或体验化的阐述，从而使学生达到对数学本质的感悟。对数学知识进行多元表征必须以数学探索作为教学形式，即必须丰盈数学知识的探索过程。

例如：“千米”是一个抽象的概念。教学时，如果仅仅让学生用“1千米=1000米”来表征它，那么，他们对千米的理解是远远不到位的。教师必须引导学生进行多元表征。课前，可以带领学生到操场上走1000米，让学生数好步数，教师计时。此时，学生会用走1千米大约用了15分钟、大约走了1500步等来表征，还能用“有点长，走得有点累”这样的感觉来表征。接着，可以让学生想一想从学校到附近哪个地方的距离大约是1千米，引导学生找到距离学校1千米的一个地方，并延伸出距离2千米、3千米的参照物，让学生用具体事例来表征1千米，最后再用1000米这个数字来表征1千米。这样的多元表征过程，丰富了学生对千米的体验，促进了他们对千米的理解。

对数学知识进行多元表征，能使学生从具体到抽象地把握数学的关系结构模式，强化他们对数学知识本质特征的理解。教师要鼓励学生进行多元表征，使他们从不同的角度促成表征之间的灵活转换，从而建立一个和谐、统一的表征系统。

（三）反思与上浮——获得意义

1.引导反思，促学生习得解题策略。

数学学习涉及诸多解题策略。解题策略既是内隐的规则系统，也是外显的程序与步骤。学生能否灵活地选择与运用解题策略，反映了他们基本的数学学习能力。当一系列数学活动结束后，教师要及时引导学生反思，总结问题解决过程中的共同点，使他们习得一类问题的解题策略，获得持续的学习力。

例如：解决实际问题中常见的“和倍和差”问题时，有些学生拿到题目就列算式，缺乏解决问题的一般思路与经验，题目中的条件稍一变化便出错，这就需要教师有点拨策略的意识。一开始碰到这类问题时，教师就要引导学生思考：碰到这类题目，我们可以先干什么？引导学生强化线段图的意识，接着引导：我们应根据哪个关键句来画线段图？指导学生画线段图的方法。

在学习过程中，学生往往会根据问题的具体情境来确定解题方法，因而常常会出现同一类型的题目换个情境就不会做的现象，这就需要教师及时引导学生进行反思、提炼、概括，促使他们从解决问题的过程中形成策略意识。

2.引导反思，促学生完善认知结构。

数学学习过程就是数学认知结构形成、变化和完善的过程。教师要有整体意识，从高处着眼，及时帮助学生将点状的知识系统化、结构化。当一个新知探究结束后，教师要善于抛出合理的问题或有针对性的练习，让学生在反思中完善认知结构。

例如：教学苏教版五下《异分母分数加减法》一课，探究出异分母分数加减法的算理、算法之后，还要及时出示整数加减法和小数加减法的练习，让学生回忆整数加减法是怎样计算的，小数加减法又是怎样计算的，使他们明白不管是“分数单位相同”还是“相同数位对齐”“小数点对齐”，其实都是“把相同单位的数相加减”。这样，就把分数、整数、小数加减法的算法做了很好的沟通，在一定程度上完善了学生的认知结构。

影响学生意义学习最重要的因素是他们的认知结构。学生在课堂学习中经历了一系列数学活动，积累了一定的数学经验。这些经验犹如一颗颗散落的珍珠，需要教师引导学生及时梳理，带领他们将那些经验穿成串、形成链，从而促进学生完善认知结构。

3.引导反思，促学生感悟数学思想。

数学思想是数学学习的精髓，可以让学生终身受益。因此，引导学生感悟数学思想尤为重要。数学教学不能止步于得出数学结论，不能停留于经历探究过程，而要引导学生对知识探究过程进行追溯，体会知识之间的内在联系，归纳、提炼认知过程中运用的数学思想。

例如：教学苏教版五上《多边形的面积》一课时，就要引导学生回顾反思探究的历程，使他们感悟转化的思想。推导出平行四边形的面积计算公式后，就可以适时引导学生反思：碰到新问题时我们想到了什么？转化后有什么好处？如果是其他平面图形，我们也可以这样转化吗？此时，学生对转化思想有了朦胧的认识。后续教学三角形面积、梯形面积后，还要进一步引导学生反思、比较每种平面图形的面积推导有什么共同之处，以后可以怎样运用，此时，转化思想初步形成。

数学思想的获得主要靠学生逐步感悟，这一内化、感悟的过程非常重要，且无人能代替。在数学学习过程中，教师应引导学生自觉检查自己的思维活动，反思自己是怎么发现和解决问题的、运用了哪些方法、获得了哪些经验等。

总之，“U型学习”强调教学过程的丰厚性，倡导突出数学学习的意义性，有利于真正促使学生将书本知识有效转化为个人知识。