一元二次方程的“前世今生”

文曹 丹

一元二次方程是指含有一个未知数且未知数的最高次是二次的整式方程。一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），是最为人所熟知的数学知识之一。人类在很早以前就学会了解一元二次方程的方法，如在公元前2000年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中；埃及的纸草文书中也涉及最简单的二次方程，例如：ax2=b；大约在公元前480年，古代中国人已经学会使用配方法去求得一元二次方程的正根，但没有提出通用求解的方法；希腊的丢番图在解一元二次方程的过程中，只取其中的正根，即使遇到两个都是正根的情况，他也只取其中之一；公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根法国的韦达发现除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系；著名科学家牛顿在其《普遍的算术》中指出，判别式值等于0、大于0及小于0分别表示该方程具有等根、实根和虚根。这些方程解的探索过程让人类逐步发现了一些能够解决一元二次方程的通法，如现在的配方法、求根公式以及因式分解法等。

人类在探索一元二次方程解法的过程中，并没有停止开拓与联想，很早之前他们就开始了对高次方程解法的研究。首先是从一元二次到一元三次，但解一元三次方程的研究过程显得异常艰难，进展非常缓慢。直到16世纪，一位意大利的数学家尼柯洛·冯塔纳找到了解一元三次方程一般形式的求根方法。在当时盛行的数学对抗比赛中，冯塔纳利用自己解一元三次方程的方法快速地战胜了对手。但他并没有公开方法，不过他的行为刺激了另一个意大利人卡尔丹诺。卡尔丹诺多次通过各种方式向冯塔纳求教方法，冯塔纳用一种极其隐晦的语言把解一元三次方程的解法变相告诉了卡尔丹诺，并让卡尔丹诺发誓不泄露出去。不过卡尔丹诺很快就彻底破解了冯塔纳的秘密，并将三次方程解法公之于众。因此世人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。值得一提的是，虽然卡尔丹诺剽窃了冯塔纳的方法，但其中也包含着卡尔丹诺自己独特的创造和见解，并不是全部照抄。