谈数学教学的三重意蕴——以设计“函数”单元第一课为例

■庄志红

“单元教学设计”是从提升学生数学核心素养的角度出发，对相关教材内容进行统筹重组优化，设计一个相对独立的教学单元，以突出数学内容的主线以及知识间的关联性，其目的和价值在于改变偏重零碎知识的教学，获得完整的知识和经验。这类设计遵循的是总分总的程序性原则，首先是呈现整个单元的总体知识概貌，然后按知识的发展顺序实施课时教学，最后是更全面地建构单元知识框架和综合应用。在教学中，教师普遍对章节的第一课不够重视，往往将其当作传统的新课教学，就知识而教知识，割裂了知识间的纽带，缺乏整体视角。那么，单元第一课需要什么样的知识教学？如何进行单元第一课的教学呢？

一、单元第一课教学的意义

俗话说“良好的开端是成功的一半”，设计单元教学前的第一节课是非常有价值的，它就像是一部剧情介绍，向学生们娓娓道来地呈现出整个教学单元内容从哪里来，到哪里去，有什么思想方法，能生成哪些活动经验等。单元教学的第一课的实施有助于培养学生的整体观，让学生看到树木的时候也看到森林。比如苏科版教材中的第一章“数学与我们同行”，它的设计凸显了作为初中数学“大单元”的第一课的作用与价值，给学生呈现了整个初中数学的“结构”：经历对现实生活中具体事例的观察与思考，体会数学来源于生活，感受在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，在参与数学活动中体会数学的基本思想和思维方式，积累活动经验。

这样的结构是一以贯之的，因为它就是由“数学外部的现实情境、数学内部的内容领域、数学内外的综合应用”组成的数学过程。比如在苏科版教材体系中关于“图形与几何”这个课程内容，设置的单元模块有“轴对称图形”“中心对称图形”“对称图形”“图形的全等”“图形的相似”，这些单元模块教学的第一课都是通过具体实例抽象出平面几何图形，给出数学化的概念，通过折纸、画图、操作、猜想等活动感悟其数学本质即几何属性，再通过对已有认知的几何图形的直观观察，初步完成以共同属性为“支架”的知识框架。

二、单元第一课教学的实施路径

单元第一课的设计与实施要呈现“三重三轻”，即重情境导入、轻直奔主题，延知识内容生成之“长”；重方法养成、轻技能训练，展知识形式关联之“宽”；重知识复演、轻知识灌输，求知识旨趣积淀之“厚”。这是把握单元教学第一课设计的核心。笔者拟以“函数”单元第一课教学为例加以说明。

1.重情境导入，把握知识内容的生长。

知识内容是知识的实质内容，为知识本质最核心的成分。数学知识来源于生活，数学知识的衍生遵循从生活到数学再到生活的顺序。因此在单元教学的第一课的教学设计中可以体现从“零数学化”到“半数学化”到“全数学化”最后到“数学在实际中的应用”这样一个历程，重演知识的生长过程。

在“零数学化”中可以设计诸如观察加油站仪表盘上跳动的数字等生活情境，让学生说一说：你看到了哪些数学的“量”，它们有什么关系，这些“量”都有什么变化规律。在这个过程中促进学生调动已有的生活经验，专注于在仪表盘上去发现数量之间的关系和变化规律。只是这个环节在语言表达上都是生活化的语言，所以称这个阶段为“零数学化”。

“半数学化”的含义是指在活动中出现数学的语言和符号化的表达。可以设计这个阶段的情境，诸如苏科版第六章章头图中呈现的一列高铁从甲地驶往乙地，学生会很自然地写出行驶的路程s、时间t、速度v之间的关系，如果此时给出速度v=200km/h，这时候学生的脑中就定格了一个等式“s=200t”，他们对数量之间的关系也集中在了对这个等式的观察上，函数表达式的雏形悄然出现了，数学符号的出现标志着“半数学化”阶段的到来。

“全数学化”阶段的设计应从学生已有的数学内部知识体系中抽取1～2个例子，如在“函数”这节课上可以借助几何画板，呈现一个任意的直角三角形，拖动非直角的一个顶点让学生观察，发现不变的量是一个（直角），变化的量有两个锐角和两条边长，它们之间目前的关系有两角互余、三边满足勾股定理。重点设计两个活动：一是围绕两个锐角设计三个小问题：①∠A=30°，则∠B= ；②∠A=27°，则∠B= ；③得到这些结果的理由。实际上就是“暗中”引导学生从等式∠A+∠B=90°转化成另一种关系式∠B=90°-∠A，虽然其本质是一致的，但为后续的函数表达式的概念建构再次埋下伏笔。二是回到几何画板，演示拖动和定格顶点A，观察图形（∠A、∠B的大小形状）和数值（这两个角的数量值标签）的变化规律，引发学生通过直接观察来表达出“∠A确定时∠B随之确定，∠A变大时∠B变小，∠A变小时∠B变大”。在经历了这个可视化的观察活动后，学生对于这两个锐角之间的关系就自然能用更为严密的数学语言来表达了，实现了“模型”化。

史宁中先生说过：数学教学的最终目标是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的语言就是模型。上述三个阶段的架构与实施，能有效促进学生从两个量的变化规律衍生到它们的对应关系、抽象出“函数”的核心概念，建立了数学模型，体现了知识的自然生长。

2.重方法养成，把握知识形式的关联。

知识形式是指知识内在的思维方式和表达形式。作为整个单元教学的第一课，在主干概念抽象出来的基础上，应将单元的零碎化知识结网，同时要体现数学的现实背景，因此可以设法用一个背景串起整个单元中分散零碎的知识要点，提炼出统领本单元的思维方式，从而深化数学知识的理解。

例如本单元中函数的三种表示形式（关系式、表格、图像），它们各有不同，函数表达式更一般，更具有“数”的特质，表格更具体，图像更直观，更具有“形”的特质，但都是函数的“表达”。可以借助搭小鱼的活动，观察搭小鱼的条数与所需火柴棒的根数。从填表入手，从简单、具体入手（搭1条鱼、2条鱼、3条鱼），到一般化（搭n条鱼）的代数推理，呈现出搭n条鱼与所需火柴棒的根数S之间的等量关系，也可将n、S的一般形式化为x、y，继而将每一对对应值x和y作为点的横、纵坐标，在直角坐标系中描出若干个点。进一步提出任务：在这个坐标系中快速精准地描出点（10，62），引发思考：这个点与已描出的那几个点有什么位置特征？从而顺畅地给出函数图像这个概念。在这个过程中从特殊、有限、孤立的点的特殊位置关系直观想象为：如果有无穷多个点，当这些点的横纵坐标都满足同一个关系式时，它们都在同一条直线上，这条直线就是函数的图像。

知识之间的联系就像支架，把知识联结成立体结构才具有张力，而且立体结构更具有“吸附力”。不仅知识点本身可以吸附新的知识点，而且联结知识点的支架——知识之间的联系带同样能吸附新的知识点，生长出更多新的知识。

在单元教学的第一课建立知识立体结构应遵循两个原则：一是厘清这些零碎的知识在数学整体知识的体系中客观存在着的联系；二是减少每个知识点的逻辑论证，尽可能通过有效的活动（如开展数学实验、创设主题问题串等）促进学生自主发现、类比猜想，感性地体会到知识的联系与交叉渗透。

建构知识立体结构靠的是支架，支架实质上就是知识背后隐藏的思想方法，如前例中将函数的三种表示形式（关系式、表格、图像）联结在一起的支架就是数形结合的辩证统一，从特殊到一般的归纳演绎。在单元教学的第一课中如果帮助学生掌握了建立函数的结构图片段（三种表示方式）的思想方法，那么将来面对未知的某个新的函数时，学生就能将思想方法正向迁移，生长出更多新的知识。

3.重知识复演，把握知识旨趣的积淀。

知识旨趣是指数学知识产生的目标追求与价值取向，以及数学知识学习的兴趣与情感。掌握知识旨趣有助于强化数学学习目标，激发求知热情。单元教学的第一课应当让学生领会数学知识的意义与目的，体验求知的快乐与价值。

单元教学的第一课是后续知识在单元体系内部生长的“土壤”，根植于这片土壤中的“根系”即为单元教学的第一课中所形成的活动经验和学科素养。检验“活动经验”是否形成并有效，就要看单元教学的第一课的目标是否达成。目标的设定不能虚无缥缈，要对照课程标准细化出相应的目标内容。结合《义务教育数学课程标准》的要求将单元教学的第一课的目标定为：能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析，能对变量的变化情况进行初步讨论；从研究数量和图形间的内在联系中感受数形结合的思想；逐步加深对函数思想的理解。因此在这节单元教学的第一课中设计一个活动：观察所给出的图像，列举满足图像中的函数关系的生活实例，引发从变量“形”的变化（上升、下降、水平）推断出变量“数”的变化，从而联系生活中的数量变化，体会函数实质上就是“用数学的语言表达现实世界”的模型思想。如此复演知识的形成过程，对于学生的持续发展，思维能力、创新精神的培养，对于学生理解知识的旨趣，激发学习动力与培养求知情感极具潜在价值。

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学的学习应当把握知识的内容、形式和旨趣，“转识成智”，从而有助于学生走向社会后，面对多样纷杂的现实情境，发现规律，找出共性，多向思维，这无疑就是我们的育人目标：发展学生的核心素养。