探寻含参函数分类讨论的思维点

广东省华南师范大学附属中学汕尾学校(516600) 刘光明

含参函数在高中数学中占据重要地位，因其蕴含着分类讨论思想，充分展现学生的良好逻辑推理素养，故而深受各类数学考试命题者的青睐.分类讨论作为破解含参函数综合问题的一种基本思想，学生能够自然联想得到.而对于分类讨论的思维起点在哪里，基本思维流程如何，学生的思维较为混乱或者根本没有意识，故而对于含参函数综合问题望而却步.本文通过具体例题的分析，试图探寻到含参函数分类讨论的思维起点，形成一定的讨论流程，为分类讨论提供较为明晰的思维过程.

思维点1：数学概念和性质本身的限制

许多数学概念或性质定理本身就有一定的限制条件，如：绝对值、指数、对数、斜率等，对于相关的问题，首先就要考虑到其本身的限制条件，并依据其限制条件进行分类讨论.

例题1(2012年高考新课标卷文科第11 题)当时，4x＜loga x，则实数a的取值范围是( )

分析 对数函数y=loga x的底数a不明确，根据对数函数的定义，从0＜a＜1 和a＞1 两方面进行讨论，显然a＞1 时，y=loga x＜0 (0＜x≤)，不符合题意；当0＜a＜1 时，y=loga x递减，4x＜loga x恒成立，则解得

一般地，利用导数处理含参函数的综合问题是较为常见的处理办法，在处理问题中的流程是：(1)确定函数f(x)定义域并求导f′(x)；(2)考查导函数f′(x)的零点；(3)解不等式f′(x)＞0 和f′(x)＜0，得到函数的单调性；(4)求极值、最值，描绘函数f(x)的大致图像.

思维点2：最高次项系数是否含参

利用导数处理含参函数问题的所有过程中，最关键的是判断导函数f′(x)的零点，而导函数的类型(一次函数、二次函数、超越函数等)是选择求解零点的首要任务，故从最高次项系数开启讨论.若最高次项系数含有参数，则从含参系数的正、负、零三个方面进行分类讨论.

例题2已知函数f(x)=a(x-lnx)+(a ∈R)，讨论函数f(x)的单调性.

解析

①当a=0 时，令f′(x)＞0 解得0＜x＜1，令f′(x)＜0 解得x＞1，此时函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减.

②当a＜0 时，ax2-2＜0，令f′(x)＞0 解得0＜x＜1，令f′(x)＜0 解得x＞1，此时函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减.

③当a＞0 时，令f′(x)=0，解得又x＞0，故舍去

(i)如果x2=即a=2 时，又x ∈(0,+∞)，f′(x)≥0，此时函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；

(iii)x2＞x3，即0＜a ＜2 时，令f′(x)＞0 解得0＜x ＜1，或令f′(x)＜0 解得此时函数f(x)在区间(0,1)和上单调递增，在区间上单调递减.

综上所述，当a≤0 时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减；当0＜a＜2 时，函数f(x)在区间(0,1)和上单调递增，在区间上单调递减；当a=2 时，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；当a＞2 时，函数f(x)在区间和(1,+∞)上单调递增，在区间上单调递减.

点评例题2 中，导函数f′(x)=的最高次项系数a含参数，故而从a=0，a＜0 和a＞0 三个方面进行分类.另外发现a≤0 其实可以一起表述，不过初学者最好分开，会更有利于学生分类讨论思维的严谨性培养.a＞0 时，含参根之间存在相等、大于、小于三种不同的大小关系，据此再进一步展开分类讨论.

思维点3：导函数是否有零点

最高次项的系数考虑完之后，导函数的类型基本上就确定了，接下来需要考虑的就是导函数是否有零点的问题了.如果存在零点，我们自然会思考一系列的问题：零点是否含参，零点是否在定义域内，零点之间的大小关系……而这些就是分类讨论的起点.

例题3设函数f(x)=ex - x -2，且当x＞0 时，(x-k)f′(x)+x+1＞0，求整数k的最大值.

解析f′(x)=ex-1，设g(x)=(x-k)(ex-1)+x+1，则g′(x)=(x-k+1)ex,x＞0.

①当k≤ 1 时，则g′(x)＞0，函 数g(x)在 区 间(0,+∞)上单调递增，所以g(x)＞g(0)=1＞0，即有(x-k)f′(x)+x+1＞0；

②当k＞1 时，则x ∈(0,k-1)时，g′(x)＜0 函数g(x)在(0,k-1)上递减，x ∈(k-1,+∞)时，g′(x)＞0 函数g(x)在(k-1,+∞)上递增，故gmin(x)=g(k-1)=k-ek-1+1，不妨设h(k)=k - ek-1+1，则h′(k)=1- ek-1＜0(k＞1)，函数h(k)在(1,+∞)上递减，又h(2)=3-e＞0，h(3)=4-e2＜0，于是1＜k≤2，因此整数k的最大值为2.

点评将不等式问题转化为函数最值问题是一种常见的处理方法，g′(x)=(x-k+1)ex=0 等价于x-k+1=0(x＞0)，因此k-1 与0 的大小关系决定方程是否有解，故而从k≤1(无解)和k＞1(有解)两方面进行分类讨论.

例题4已知函数f(x)=x2-2x+mlnx+1(m ∈R)，若函数f(x)有唯一的极值点，求实数m的取值范围.

解析f′(x)=令2x2-2x+m=0，则Δ=4-8m，

①当Δ ≤ 0，即m≥时，2x2-2x+m≥ 0，∀x ∈(0,+∞)，f′(x)≥0，故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值点，不符合题意；

②当Δ＞0，即时，令f′(x)=0，解得若x1＜0，即m≤0 时，x2＞1，令f′(x)＞0 解得x＞x2，令f′(x)＜0解得0＜x＜x2，函数f(x)在区间(x2,+∞)上单调递增，在区间(0,x2)上单调递减，此时函数f(x)在x=x2处取得极小值，无极大值，函数有唯一极值点，符合题意.若x1＞0，即0＜m＜时，x2＞x1＞0，令f′(x)＞0 解得x＞x2或者0＜x＜x1，令f′(x)＜0 可得x1＜x＜x2，函数f(x)在区间(x1,x2)上单调递减，函数f(x)在区间(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增，此时函数f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极大值，有两个极值点，不符合题意.

综上所述，函数f(x)有唯一的极值点，实数m的取值范围是(-∞,0].

点评一元二次方程是否有解，根据判别式Δ 的正负情况进行分析，故从Δ ≤0，Δ＞0 进行分类讨论.方程有含参的根后，需要讨论含参根是否在定义域内(即x1＜0、x1＞0)，若含参根在定义域内，那么根之间的大小又是讨论的起点.

思维点4：二次导函数的正负

导函数f′(x)的零点不太明确时，需要对其变化趋势甚至大致图像有进一步的分析，此时可以将导函数f′(x)视为一个新函数，然后考虑“再导一次”，依据二次导函数的正负进行讨论.

例题5(2010年高考全国卷理科第21 题节选(2))设函数f(x)=ex-1-x-ax2(a ∈R)，当x＞0 时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.

解析f′(x)=ex -1-2ax(x＞0)，f′′(x)=ex -2a(x＞0)，

②当a＞时，f′′(x)=ex -2a=0，x=ln 2a＞0，x ∈(0,ln 2a)，f′′(x)＜0，x ∈(ln 2a,+∞)，f′′(x)＞0，导函数f′(x)在区间(0,ln 2a)上单调递减，在区间(ln 2a,+∞)上单调递增.又f′(0)=0，故存在x0∈(0,ln 2a)，使得f(x0)＜f(0)=0，不符合题意.

综上所述，实数a的取值范围是

点评f′(x)=ex -1-2ax(x＞0)的正负情况不是那么容易分析，再导一次f′′(x)=ex -2a(x＞0)，易发现ex＞1，因此2a与1 的大小关系就决定f′′(x)的正负情况.

思维点5：切线探路

特殊值的处理思路虽然在解题中不能令人信服，但能为我们的思考提供一定的方向.在含参函数的求解中，可以借助曲线的切线这一边界想法，为讨论探寻到思考的起点.

例题6(2018年高考全国卷II 理科第21 题节选(2))已知函数f(x)=ex-ax2，若函数f(x)在区间(0,+∞)上只有一个零点，求实数a.

解析f′(x)=ex-2ax，f′′(x)=ex-2a，(x＞0).

①当a≤时，ex＞1，f′′(x)=ex -2a≥ 0，函数f′(x)=ex -2ax在区间(0,+∞)上单调递增，故f′(x)＞f′(0)=1，于是函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，此时f(x)＞f(0)=1，函数f(x)在区间(0,+∞)上无零点，不符合题意；

点评依据二次导数的正负得到了和两种分类，由于[f′(x)]min=f′(ln 2a)=2a(1-ln 2a)的正负情况较难判断，故而借助直线y=2ax与曲线y=ex相切，得到和两种情况的分类讨论，巧妙化解计算尴尬.

通过上述例题的阐述，含参函数综合问题的分类讨论基本思维程序是从导函数的最高次项系数是否含参开始分析，然后考虑导函数是否有零点，接着是思考含参零点是否在定义域内，最后考查零点之间的大小关系.如果一次导函数的零点不明确时，还可以采取“再导一次”或者巧借曲线切线探寻参数边界值进行讨论.