基本量法解决数列问题

江苏省扬州市新华中学 朱 丹

对待数列问题，我们往往认为只有熟练掌握各类技巧才能驾驭它，似乎用技巧才会节省时间、简化过程，因此，在平时训练中，将大量时间花在技巧的发现和训练上.事实上，更多时候，我们是通过解方程或方程组来解决问题，即用基本量法解决问题.所谓基本量法，就是利用a1，an，d（q），Sn这几个量的相互关系，通过方程或方程组，在已知部分量或关系的前提下求出其余的量或关系的方法.比较用技巧解题，基本量法好像显得有点“笨拙”，但方向明确，过程简单，解题正确率高，可以说，数列题原则上几乎都可以用基本量法来解决，只要我们有足够的耐心.下面通过几个熟悉的例子再来认识一下基本量法及其应用.

例1问：等差数列5，11，17，…，77共有几项？

有人会说，这简单，只需将所有项写出来数一数就行.但如果再给出若干项，“数一数”的代价就大了.还有一种做法是：共有项，问题是为什么这样做？道理是什么？未必能想明白.看看用基本量法如何解决：设a1=5，an=77，d=6，则因为an=a1+（n-1）d，所以77=5+（n-1）6，得n=13.这样做的理由很简单，就是看看首项是5、公差是6的等差数列中，77排第几项？

从这道题的解法可以看到，基本量法不是没有内涵的“呆”方法，有时比其他办法更有效，问题也看得更透.

例2在各项均为正数的等比数列an｛｝中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是____.

这道题命题意图很清晰：一是考查认识数列的大局观和整体思想，二是考查等比数列的一个性质：an=am·qn-m，也就是a8=a2·q6，a6=a2·q4，a4=a2·q2.因此可以将a2，a4，a6，a8看成一个新的等比数列的前4项，问题就迎刃而解了.但能想到这点未必很容易，需要你对数列有较深刻的把握，况且在高考考场上有时候容不得我们花太多的时间去想解题的最佳方案.能捉到老鼠的就是好猫，干脆用基本量法：由题意知，a1q=1，a1q7=a1q5+2a1q3，q4=q2+2，得q2=2，因为各项均为正数，所以，所

例3设等差数列an｛｝的前n项和为Sn.已知S12=354，且前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.

看到这类题，可能有同学认为要用到如下的部分结论：设等差数列an｛｝的前n项和为Sn，若an｛｝共有n=2k（k∈N*）项，则若an｛ ｝共有n=2k-1）项，则.这些结论比较抽象，也不易记住，所以部分同学对解这道题信心不足.如果你试图用基本量法，你便会觉得很简单：设首项为a1，则由条件可得解得a1=2，d=5.

例4设m，n，s，t∈N*，且m+n=s+t.若an｛｝是等比数列，试问am·an=as+t成立吗？若不成立，请说出理由；若成立，试给出成立的条件.

这是一道发散型的探究题，有同学一眼就发现当an=1（n∈N*）时成立.就没有其他情形吗？基本量法可以解决这个问题：由am·an=as+t，得a1·qm-1·a1·qn-1=a1·qs+t-1，化简得a1=q.这下恍然大悟了！原来当等比数列的首项与公比相等时，am·an=as+t.自然，an=1只是大海中的一滴水.

例5设等差数列an｛｝的前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，则S110=_______.

解这道题的技巧很多，如：S100-S10=-90，a11+a12+…+a100=-90，45（a11+a100）=-90，a11+a100=-2，所以a1+a110=a11+a100=-2，.用基本量法过程如下，由解

可能多数同学认为前一种更有“靓”点.但我们应该用辩证的眼光来比较优劣.确实，用基本量法的过程繁杂，数字庞大，但算理简单，思路清晰，在苦思冥想找不到更好所谓“技巧”的情形下，她真的不失为另类的技巧！

近年高考中的数列题，呈两极分化的布局，当其前置时，一般属于中（低）档题，某种意义上说是送分题，因此，只要我们对定义、性质有较全面的认识，基本量法是成本最低、胜算最大的通用方法，往往能一招制胜.而当数列题压轴时，也必定兼有选拔功能，就不仅仅是对解题方法的考查了，但即便如此，基本量法也大有市场.综上分析，可以说基本量法是数列解题的当家法宝，同学们赶紧取走吧.