三角恒等变换要有目标意识

包旭苗

[摘   要]在求解三角函数问题中，有要目标意识，要紧扣解题目标进行有目的的变形，如降幂转化、常数代换、合理变角、巧添分母等.

[关键词]三角函数;恒等变换;目标意識

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0034-02

美国著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书写道：“看着终点，记住你的目的，勿忘你的目标，想着你希望得到的东西.”这句话告诉我们，在解题时，要有目标意识，要紧扣解题目标进行有目的的变形.对于三角恒等变换来说，树立目标意识尤为重要.那么，在求解三角函数问题时，要有哪些目标呢？

一、降幂转化

当题目中出现三角函数的次数比较高时，可利用同角三角函数的平方关系或者倍角公式，实现降幂的转化.

[例1]已知[cosπ4+θcosπ4-θ=14]，则[sin4θ+cos4θ]的值为           .

解析：因为[cosπ4+θcosπ4-θ=]

[22cosθ-22sinθ）] [22cosθ+22sinθ]

=[12] [（cos2θ-sin2θ）]=[12]cos2θ=[14]， 所以cos2θ=[12].

故[sin4θ+cos4θ=1-cos2θ22]+ [1+cos2θ22][=116+916=58] .

点评：降幂是解题的关键环节.对于二次或高次的三角函数的化简或求值问题，解题时一般需恰当应用“[sin2α+cos2α=1]”“[2sinαcosα=sin2α]”“[sin2α=1-cos2α2]”“[cos2α=1+cos2α2]”等公式对已知表达式进行化简.

二、常数代换

某个常数，可看作某个特殊角的三角函数值或某个三角恒等式，这种常数代换，往往会取得出奇制胜的解题效果.

[例2]计算：[1-tan15°3+tan60°tan15°] =             .

解析：（1）原式[=tan45°-tan15°3（1+tan45°？tan15°）=]

[13] tan（45°-15°）= [13]. 故答案为[13].

点评：把某些数值“还原”成特殊角的三角函数，如[3=tanπ3=] [sinπ3cosπ3]、[1=tanπ4=] [sinπ2=][2cosπ4]等，能搭建三角恒等变换的沟通桥梁.

三、合理变角

在三角恒等变换中，首先应该想到角的变化.角的变化，有单角与复角之间的转化，特殊角与非特殊角之间的转化，所求角与已知角之间的转化，等等.

[例3]已知[tanα+π5=2]，[tanβ-4π5=-3]，则tan（[α-β]）=（        ）.

A. 1          B. - [57]            C.  [57]       D. -1

解析：∵[tanβ-4π5=-3]，∴[tanβ+π5=-3].

∵[tanα+π5=2]，∴tan（[α-β]）= [tanα+π5-β+π5] [=tanα+π5-tanβ+π51+tanα+π5？tanβ+π5=] [2-（-3）1+2×（-3）=-1] .

故选D.

点评：解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差或倍角的关系.主要有以下几种情形：α=（α+β）-β;α=β-（β-α）;[α=12][（α+β）+（α-β）];[β=12][（α+β）-（α-β）];[π4+] [α=π2] [- π4-α];等等.

四、巧添分母

改变三角函数式的结构，有时可以通过合理添上分母实现，从原问题的实际出发，添加分母，有利于三角公式或已知条件的利用.

[例4]cos [π9]·cos [2π9]·cos [-23π9] =             .

解析：cos [π9]·cos [2π9]·cos [-23π9]

= cos 20°·cos 40°·cos100°

= - cos 20°·cos 40°·cos 80°

[=-sin20°？cos20°？cos40°？cos80°sin20°]

[=-12sin40°？cos40°？cos80°sin20°]

[=-14sin80°？cos80°sin20°]

[=-18sin160°sin20°] [=-] [18sin20°sin20°] [=-18] .

點评：在三角恒等变换中，有时候要添上一个恰当的分母，从而利用已知条件求值或通过凑项变角，然后逆用二倍角公式，使问题发生“连锁反应”，从而快速得到问题的答案.

五、合理换元

三角与代数之间有着天然的联系，换元可以沟通它们之间的关系.合理换元，可将三角函数问题转化为代数问题来处理.

[例5]函数y = sinx - cosx+sinxcosx的值域为                          .

解析：设t = sinx - cosx [=2sinx-π4]，则

[t2] = sin2x + cos2x - 2sinx·cosx，sinxcosx [=1-t22]，且[-2≤t≤] [2].

∴y = - [t22] + t + [12] = - [12] [（t-1）2] +1，t ∈ [-[2]，[2]].

当t = 1时， ymax= 1;当t = [-2]时，ymin=- [12] - [2].

∴函数的值域为[-12-2，1] .

点评：本例换元后将原问题转化成二次函数值域问题，但必须注意换元后新元的取值范围，而新元的取值范围依然离不开三角恒等变换.

除了上述方法外，还可实现切弦互化，鉴于篇幅问题不再阐述.从以上例题分析可看出，要实现三角恒等变换的目标，应在“变角”“变名”“变结构”上“做文章”，从而达到巧妙应用三角函数变换公式顺利解题的目的.

[  参   考   文   献  ]

[1]  张小凯，张宗余.三角恒等变换[J].中学数学教学参考，2019（Z1）：89-94.

[2]  刘馨怡，周龙虎.再看“三角恒等变换”[J].中学数学，2018（1）：16-17.

（特约编辑    安   平）