空间向量与立体几何垂直问题

谢荣春

[摘   要]用空间向量证明立体几何垂直问题是一条有效的途径.研究、探讨此种方法，可以提高学生的解题能力.

[关键词]空间向量;立体几何;垂直问题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0033-02

利用空间向量证明立体几何垂直问题是一条有效的路径.通过建立空间直角坐标系，并求出空间向量的坐标，将空间的垂直关系，用空间向量的坐标来阐明，从而将几何证明转化为向量运算.下文举例说明.

一、线线垂直问题

线线垂直是空间垂直关系的基础，可利用空间向量的数量积加以证明.

[例1]如图1，在四棱锥[P-ABCD]中，[PD]与底面[ABCD]垂直，底面[ABCD]是正方形，[PD=DC，AE=BE，PF=BF].求证：[EF⊥CD].

证明：分别以直线[DA，DC，DP]分别作为[x]軸、[y]轴、[z]轴建立空间直角坐标系，如图2.

令[AD=a]，则[D（0，0，0）]，[A（a，0，a）]，[B（a，a，0）]，[C（0，a，0）]，[Ea，a2，0]，[P（0，0，a）]，[Fa2，a2，a2]，则[EF] [=-a2，0，a2]，[DC] [=（0，a，0）].故[EF]·[DC] = 0，即[EF]⊥[DC]，所以[EF⊥CD].

二、线面垂直问题

将线线垂直转化为线面垂直，可采用基底法和坐标法.

[例2]如图3，正三棱柱[A1B1C1-ABC]的所有棱长均为2，[DC=DC1].求证：[AB1⊥]平面[A1BD].

证法一：设任意直线[m？]平面[A1BD]，且它的方向向量为m.

则根据共面向量定理知，存在[λ，μ∈R]，使m=λ[BA1]+μ[BD].令[BB1=a]，[BC=b]，[BA=c]，易知它们不共面，并且满足[a=b=c=2]，[a·b=a·c=0]，[b·c=2]，于是，把它们作为基底，便有[BA1=a+c]，[BD=12a+b]，[AB1=a-c]，[m=λBA1] [+μBD=] [λ+12μa+] [μb+λc]，

[AB1·m=（a-c）·][λ+12μa+μb+λc] [=4λ+12μ-] [2μ-4λ=0].故[AB1⊥m]，结论得证.

证法二：如图4，取[BC]的中点O，连接[AO].[∵△ABC]为正三角形，[∴AO⊥BC].

[∵]三棱柱[ABC-A1B1C1]是正三棱柱，[∴]平面[ABC⊥]平面[BCC1B1]，于是[AO⊥]平面[BCC1B1].

设[B1C1]的中点[O1]，以[O]为原点，分别以[OB]，[OO1]，[OA]所在直线作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则[B（1，0，0） ，D（-1，1，0） ， A1（0，2，3）]，[B1（1，2 ，0）] . 令平面[A1DB]的法向量为[n=（x，y，z）]，[BA1]=（-1，2，[3]），[BD=（-2，1，0）] .

由于[n⊥BA1]，[n⊥BD]，所以[-x+2y+3z=0 ，-2x+y=0 ，] 设[x=1]，那么[y=2，z=-3]，

所以[n=（1，2，-3）]是平面[A1DB]的法向量，

又[AB1=1，2，-3] ，故[AB1=n]，即[AB1∥n]，

故[AB1⊥]平面[A1BD].

三、面面垂直问题

面面垂直是利用法向量的垂直转化的，实质上还是证明线线垂直.

[例3]如图5，三棱锥[P-ABC]中，[AB=AC]，[DB=DC]，[PO]与平面[ABC]垂直，垂足为[O]，且[O∈]线段[AD].已知[BC=8，PO=4]，[AO=3，OD=2].

（1）试证：[AP⊥BC];

（2）如果点M[∈]线段[AP]，且[AM=3].试证明平面[AMC]与平面[BMC]垂直.

证明：（1）以[O]为原点，把射线[OP]作为[z]轴的正半轴（如图6），建立空间直角坐标系[O-xyz] . 则[O（0，0，0）]，[A（0，-3，0）]，[B（4，2，0）]，[P0，0，4] .则[AP=（0，3，4）]，[BC=（-8，0，0）]，∴[AP]·[BC] = [（0，3，4）]·[（-8，0，0）] = 0，

故[AP]⊥[BC]，所以AP与BC 互相垂直.

（2）由（1）得[AP=5]，又[AM=3]，且M在线段AP上，∴[AM] = [35] [AP] = [0，95，125]，

又[BC=（-8，0，0）]，[AC=（-4，5，0）]，[BA=（-4，-5，0）]，

∴[BM] = [BA] + [AM] = [-4，-165，125]，

则[AP]·[BM=（0 ，3 ， 4）]·[-4 ，-165 ， 125=0]，∴[AP] ⊥ [BM]，即AP ⊥ BM，又由（1）的结论得[AP⊥BC]，且[BM？BC=C]，∴[AP⊥]平面[BMC]，则[AM]⊥平面[BMC].  又因为[AM]在平面[AMC]内，所以平面[AMC]⊥平面[BMC].

四、与垂直有关的探究性问题

[例4]如图7，三棱柱[ABC-A1B1C1]中是直棱柱，且底面是以角ABC为直角的等腰[Rt△]，[AC=2a]，BB1 = 3a，D是A1C1的中点，E是B1C的中点.

（1）求[cos];

（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出[AF];若不存在，请说明理由.

解析：这是一道存在性问题，常用的方法就是假设存在这样的点F，然后在此条件下求该问题.

（1）以B为坐标原点，建立如图8所示的空间直角坐标系B - xyz.

∵AC = 2a，∠ABC = 90°，△ABC为等腰直角三角形，

∴AB = BC = [2a] .

∴B（0，0，0），A（[2]a，0，0），C（0，[2]a，0），B1（0，0，3a），A1（[2]a，0，3a），C1（0，[2]a，3a），[D22a ，22a ，3a] [E0 ，22a ，3a2]，

∴[CA1]=（[2]a，-[2]a，3a），[BE] = [0，22a ，3a2]，

∴[CA1=13a]，[BE] = [112a]，[BE]·[CA1] = [0-a2+92a2=72a2] .∴[cos] = [BE？CA1BE？CA1] = [7143143].

（2）存在.假设存在点F，使CF⊥平面B1DF. 不妨设AF = b，则F（[2]a，0，b），∴[CF] =（[2]a，-[2]a，b），

[B1F] =（[2]a，0，b-3a），[B1D] [=22a，22a，0] .

由题意知[CF]·[B1D] = [a2-a2+0=0]，

∴[CF]⊥[B1D]，即CF ⊥ B1D恒成立.

由[B1F]·[CF] = [2a2+b（b-3a）=b2-3ab+2b2=0]，得b = a或b = 2a .

∴在線段AA1上存在点F，使CF⊥平面B1DF，[AF] = a或[AF] = 2a .

（责任编辑 黄桂坚）