解决函数客观压轴题的良策

杜言言

[摘   要]探讨函数客观压轴题的解题策略，以帮助学生领会函数压轴题的背景、解法、立意等内涵，掌握函数压轴题的思想方法与技巧，从而有效突破难点.

[关键词]函数;压轴题;性质;结论

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0023-02

在高考数学命题中，函数压轴题往往以客观题的形式出现，正因为是压轴题，其难度不言而喻.数学解题，必须讲究方法.方法得当，事半功倍. 那么解决函数客观压轴题有何良策呢？

一、善用性质，合理转化

善于利用函数性质合理转化是解决函数问题的关键，例如可将函数的单调性转化为不等关系，函数的奇偶性转化为恒等式，而对于函数的对称性，可从函数f （x）满足f （a+x）= f （b-x），得到其图像的对称轴x= [a+b2];而从函数f （x）满足f （a+x）+f （b-x）=c，可得到其图像的对称中心是[a+b2，c2].

[例1]若函数y=f （x）的定义域为R，并且满足条件[fx+32=-f（x）]，又知函数[y=fx-34]是奇函数，则给出下面四个命题，其中是真命题的序号为___________.

①函数f （x）是以3为周期的周期函数; ②函数f （x）的图像的对称中心是[-34，0];③函数f （x）在定义域R上是偶函数;④函数f （x）在定义域R上单调.

解析：因为f （x+3）=f [x+32+32] =-[fx+32] =f （x），所以函数f （x）是周期函数，且它的周期为3，故①正确;因为函数[fx-34]是奇函数，它的图像的对称中心为[0，0]，所以f （x）图像的对称中心是[-34 ，0]，故②正确;由于f （x）图像的对称中心是[-34，0]，-[34=-x+-32+x2]，故f [-x=]-f [-32+x] ，又[f-32+x]=[-f-32+x+32=-fx]，所以f [-x]=f [x]，故③正确;因为f （x）在R上是偶函数，所以它不可能单调，故④错误.于是可得真命题的序号为①②③.

二、妙用结论，如虎添翼

给出最值函数的定义：若a，b [∈R]，则min[a，b]=[a，a≤bb，ba].对于某些最值问题，巧妙运用性质“（1） min[a，b≤a+b2≤maxa，b] ”和“（2）[mina，b≤] [ab≤maxa，b]（a>0，b>0）”，可让解题如虎添翼，快速获解.

[例2]设max [a，b] = [a，a≥bb，b>a]，若向量a，[b]，[c]满足 |[a]|=1，|[b]|=2，[a]·[b]=0，[c]=λ[a]+μ[b] （λ，μ都是非负数，且[λ]+[μ=1]），则当max [c·a，c·b]取最小值时，|[c]|=（）.

A. [255]              B.  [223]           C. 1   D. [52]

解析：如圖1，设[OA=a]，[OB=b]， 则a= [1，0 ，b=0，2]，[∴λ≥0，μ≥]0，[λ+μ=1，∴0≤λ≤1].又[c=λa+μb]，[∴c·a=（λa+b-λb）·a=λ];[c·b=（λa+b-λb）·b=4-4λ].由[λ=4-4λ]，得[λ=45] .

[∴maxc·a，c·b]=[λ，45≤λ≤1，4-4λ，0≤λ<45.]令[fλ] =[λ，45≤λ≤1，4-4λ，0≤λ<45 ，]则 [fλ] [∈ ][45，4 ]. ∴[fλ][min]= [45]，此时 [λ=45]，[μ]= [15]， [∴]c =[45]a+[15]b=[45，25]，∴| c |=[452+252]=[255].  选A.

三、合理拆分，参变分离

若一个方程或不等式由几个基本初等函数组成，当整体处理有困难或难度较大时，可尝试采用拆分函数的方法去解决.实际上，参变分离是拆分函数的一种特殊情况，参变分离较多运用在带参数的二次方程或不等式中，而拆分函数则有更大的运用范围.

[例3]已知函数f [x]=xlnx - ae[x] （e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是             .

解析：由题易知 f [′][x]=1+lnx - ae[x]，令f [′][x] =0，得a=[1+lnxex]，函数f （x）有两个极值点，则需f′（x）=0有两个实数根，等价于a=[1+lnxex]有两个实数根，等价于直线y=a与y=[1+lnxex]的图像有两个交点.令g（x）=[1+lnxex]，则g′（x）=[1x-1-lnxex]，令h（x）=[1x]-1-ln x（x>0），得h（x）在（0，+∞）上为减函数，且h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，h（x）>0，故g′（x）>0，g（x）为增函数;当x∈（1，+∞）时，h（x）<0，故g′（x）<0，g（x）为减函数，所以    g（x）max=g（1）= [1e]，又当x → +∞时，   g（x）→0，所以g（x）的图像如图2所示，故0 < a < [1e].

评注：将原函数拆分为两个函数，一静一動，在动态变化中，可找到参数的取值范围，这种解法离不开函数图像.

四、构造函数，修桥筑路

构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想.构造函数的主要步骤：

（1）分析：分析已知条件，联想函数模型;（2）构造：构造辅助函数，转化问题本质;（3）回归：解析所构函数，回归所求问题.在客观题中，主要用于比较两式大小和解不等式.

[例4]已知定义在R上的可导函数f [x]的导函数为[f   ′x]，满足[f   ′x] < f [x]，且 f （x+2）为偶函数， f （4）=1，则不等式 f [x] < e[x]的解集为________.

解析：∵f （x+2）为偶函数，∴f （x+2）的图像关于x=0对称，∴[fx]的图像关于x=2对称，∴f （4）= f （0）=1.

设g [x] = [fxex]（x∈R），则[g′x] = [f ′xex-fxexex2=f ′x-fxex]，又∵[f ′x<][fx]，∴[g′x] < 0[ x∈R]，∴函数g[x]在定义域上单调递减.

∵[fx<][ex][？] g [x] = [fxex] <1，而g[0] = [f0e0] =1，

∴[fx<][ex][？]g [x]< g [0]，∴x>0.

所以原不等式的解集是[x|x>0].

评注：在解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，可设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，从而找到科学的解题途径.

[  参   考   文   献  ]

[1]  顾德成，徐小琴.一道高考函数压轴题的多角度分析[J].数学教学通讯，2019（9）：80-82.

[2]  石礼标.一类高考压轴题的本质探源：高观点探究函数不等式问题[J].高中数学教与学，2018（9）：36-38.

（特约编辑   安   平）