基于细化等级赋分问题的研究

赵吉祥，姚兴贵，吕香归，许鹏飞

（安徽农业大学 工学院，安徽 合肥 230036）

1 背景知识

安徽省教育厅发布了《安徽省普通高中学业水平考试实行办法》，此办法从2018年秋季入学的普通高中一年级学生开始实施.

实施办法中规定：《普通高中课程方案（实验）》所设定的科目均列入普通高中学业水平考试范围，包括语文、数学、外语、思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术和通用技术、体育与健康、艺术（或音乐、美术）.普通高中学业水平考试包括合格性考试和等级性考试两类.合格性考试设置科目为语文、数学、外语、思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术和通用技术、体育与健康、艺术（或音乐、美术）.等级性考试设置科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物.学生必须参加所有科目的合格性考试，考试成绩合格后，方可根据报考高校要求和自身兴趣特长，在6门科目中自主选择3门参加等级性考试.

等级性考试成绩以等级呈现，按获得该次考试有效成绩的考生（即缺考或未得分的考生除外）总数的相应比例由高到低划分A、B、C、D、E五个等级.各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级30%，C等级30%，D、E等级25%.学生学业水平考试所有科目成绩提供给招生高校使用，等级性考试3门科目成绩以细化等级赋分方式计入高校招生录取总成绩.

本文将从以下两个问题展开：

（1）对实施办法中将A、B、C、D、E五个等级的比例从定性和定量的角度对比例设置做出合理评价.

（2）对于等级性考试3门科目成绩以细化等级赋分方式计入高校招生录取总成绩，建立数学模型，研究如何进行细化等级赋分.

做出流程图如下图所示：

首先针对问题及实际背景做假设如下：

（1）假设各科等级比例划分合理.

（2）假设D、E合并为一个等级，记为H，占25%，即本题共研究四个等级（A、B、C、H），所占等级比例分别为15%、30%、30%、25%

（3）假设学生所选科目对等级划分无影响，且各科考试成绩分布相对均匀.

（4）假设各科所报人数大致合理，在可控范围内.

首先从定性和定量角度评价等级性考试中单科等级A、B、C、D、E 比例设置的合理性.

定性角度分析：

结合全国各地普通高中及各个自然班学生成绩的普遍分布规律，存在优秀、良好、合格、不合格的梯度分布，进一步分析以上四个等级学生所占比例与题中等级比例设置基本相仿.所以，从定性角度分析实施办法中，对于A、B、C、D、E五个等级比例设置相对合理.

定量角度分析：

（1）根据对近几年安徽及全国其他地区高考试卷难度分析，发现难题、中等题、简单题符合2:6:2的比例分布，与实施办法中比例设置近乎吻合.

（2）根据教育部2012年5月22日公布的数据显示，我国共有844所高等本科院校，其中985及211学校共112所，占所有本科院校比例约为13.3%，与等级A的设置比例（15%）相近，然后结合其他数据及成绩分布近似正态分布原理得出其他等级的比例划分也合理.

2 模型的建立与求解

2.1 符号说明

表1 符号说明表

2.2 问题2的分析

对等级性考试进行细化等级赋分，建立层次分析（AHP）数学模型，将其共分为三层，其中第一层目标层（O）为细化等级赋分，第二层准则层（C）共分为四个因素，第三层方案层（P）共有20种方案，对其进行权重计算比较，进行综合排序，即对应由优到差排序将其划为20档，然后对其合理赋分.其中第一档为满分，每隔3分一档，最低档为40分，以此进行合理细化等级赋分.

根据实施办法中，每个学生只选考三门课，即每名学生只会有三门考试科目的等级，学生三门科目所有的等级组成由A、B、C、H排列组合形成，经过分析共有20种不同的等级组成.分别为 AAA、BBB、CCC、HHH、ABC、ABH、ACH、BCH、AAB、AAC、AAH、BBA、BBC、BBH、CCA、CCB、CCH、HHA、HHB、HHC.并按以上顺序对其编号分别为

并依次为从方案1到方案20，不同的等级组合所对应的层次不同.针对以上20种不同的等级组合，我们采用层次分析方法建立数学模型，利用组合权重比较，从优到劣进行逐一排序，然后对其合理赋分.

2.3 层次分析法模型建立与求解[1]

2.3.1 建立层次结构图

根据实施办法中所给的A、B、C、H四个等级的比例设置确定目标层O、准则层C和方案层P，建立如下图1所示的层次结构图.

图1 层次结构图

第一层为目标层O：细化等级赋分；

第二层为准则层C：影响细化等级赋分的四个因素，依次为 A、B、C、H；

第三层为方案层P：学生成绩等级的所有可能组合.

2.3.2 确定准则层对目标层的权重向量

这是一个4阶的正互反矩阵，用和法计算可得A的最大特征根为λmax=4.0001，相应的归一化特征向量为ω2=(0.1429,0.2857,0.2857,0.2857)T,一致性检验，经查RI值表可知当n=4时，RI=0.96，所以，通过一致性检验，所以ω(2)可以作为准则层对目标层的权重向量.

2.3.3 确定方案层P对准则层的权重向量

根据实施办法中的各等级的比例设置和模型的假设，可以构造方案层P中20种所有可能的等级组合形式对准则层C中各因素Ck的两两比较矩阵Bk(Bij(k))20×20,其中Bij(k)=显然，所有的 Bk(k=1,2,3,4)均为一致阵，由一致阵的性质可知，Bk的最大特征根CIk=0,CRk=0,Bk的任一列向量都是的特征向量，将其归一化可得方案层P对Ck的权重向量ωk(3)(k=1,2,3,4).于是，方案层对准则层的权重向量矩阵为一致性比率为CRk=0（k=1,2,3,4）,通过一致性检验.

2.3.4 确定方案层P对目标层O的组合权重向量方案层对目标层的组合权重向量为

显然，组合一致性指标CI(3)=(CI1(3),CI2(3),CI3(3),CI4(3))ω(2),=0，组合一致性比率为

所以，通过组合一致性检验，组合权重向量ω(3)可以作为分级依据.

将权重ω(3)的20个分量分别作为20种成绩等级的综合考量，从优到劣依次为

具体对应于20种成绩组合进行从优到劣排名如下：AAA,AAB,AAC,AAH,BBA,ABC,BBB,ACC,BBC,ABH,AHH,BBH,ACH,BCH,BCC,CCC,HHB,CCH,HHC,HHH.

2.3.5 对20种成绩等级进行合理赋分

通过综合考虑，可将以上所得20种成绩等级进行如下赋分，其中AAA为第一等级为100分，每相邻等级为一档，共20档，每档分差为3分，从AAA开始对以上所得的20种等级排名进行依次赋分，直至HHH档为40分，以此对其进行合理赋分.

2.3.6 结合以上所得结果和实施办法综合考虑

根据本题假设中D、E为同一等级，均为H，所以学生所得D、E等级得分相同，所以AAD和AAE为同一等级，实际所得分数相同（其他情况类似），于是，综合所得结果和实施办法考虑，又可将20种等级分布中含H等级的细分为D、E两种不同等级，但实际所得分数相同.综上所述，可对问题2进行合理赋分.

3 模型的误差分析

1.假设中提到学生所选科目及各科所报人数均分布合理，且对等级划分无影响.但综合实际考虑，学生所选科目受其自身特长和兴趣影响所以可能存在各科所报人数分布并不合理，因此对等级划分可能存在一定的影响，使结果存在一定的误差.

4 模型的评价与推广

4.1 模型的优点

（1）从层次分析方法的原理、步骤、应用等方面的讨论不难看出，层次分析模型是一种能有效处理这类指标难以量化的社会问题的实用模型，它具有系统性、实用性、简洁易懂性等优点.

（2）本模型中采用的层次分析过程中所构造的两两比较矩阵均是根据安徽省教育厅发布的《安徽省普通高中学业水平考试实行办法》，有较高的可靠性，能够系统、公正、有效地细化等级赋分.

4.2 模型的缺点

（1）AHP模型中所用的指标体系需要有权威系统的支持，如果给出的指标不合理则得到的结果也就不准确.

（2）AHP方法中进行多层比较的时候要给出一致性检验，如果不满足一致性指标要求，则此方法失去作用.

4.3 模型的推广

该模型具有广泛的应用价值，还可以应用于其他的评价问题，比如选优评价等问题中.