基于Heston模型的期权定价与波动率建模

摘要：本文首先回顾期权定价方法的经典模型及发展过程。随后介绍了Heston模型的欧式期权半显式解的形式。实证部分对象为上证50ETF期权，使用了LM算法对Heston模型进行参数估计，并评估了该模型的隐含波动率拟合情况。文章最后，对Heston模型研究的进一步发展进行了展望。

关键词：期权定价;Heston模型;随机波动率模型;上证50ETF期权;隐含波动率

研究背景

随着我国金融市场愈发成熟，包括期权在内的金融衍生品交易也愈发活跃。上证50ETF期权，作为我国金融市场上唯一一支交易量大，流动性好的期权品种，对满足我国投资者风险对冲的需求有着重大的意义。

1973年， Black和Scholes提出了著名的BS期权定价模型，直至今仍有非常重大的意义。但是，BS模型存在着一个重大缺陷，即它无法解释现实中广泛存在的“波动率微笑”现象，为解决这一缺陷，学者们在BS模型基础上，相继提出了CEV模型（Cox & Ross， 1975），跳跃——扩散模型（Merton， 1976），CIR模型（Cox， Ingersoll & Ross， 1985）以及本文介绍的Heston模型（Heston， 1993）等。

Heston模型对欧式看涨期权价格有：

其中，

另外，欧式看跌期权价格可由涨跌平公式得到，为简化讨论，在实证研究部分，本文也只研究欧式看涨期权。

实证研究

参數估计

我们以2019年4月1日上证50ETF期权的44种看涨期权合约，进行研究。当日50ETF（$510050$）净值为2.877。由Heston模型看涨期权的解析解，得到Heston模型期权价格，另有观测到的期权市场价格。到此，只需解决如下的优化问题：

综合考虑，选择了LM算法进行模型校正工作。并由此得出参数估计结果：，，， ，

隐含波动率曲面拟合优度检验

检验Heston模型对距到期日23天，51天，86天，177天的四类期权隐含波动率拟合情况可以发现，拟合优度明显随着到期日距离变长而上升，对23天到期的期权拟合情况不佳，而对177天到期的期权却拟合的非常好。事实上，这是Heston模型的一个固有缺陷。对此，一种解释是：当离行权日越来越近，交易也变得越来越频繁，这使得期权的波动率更加无法预测。下文会提到对Heston模型的各种改进。

结论

总的来说，Heston模型的确能较好的刻画出上证50ETF期权的“波动率微笑”现象，唯一不足在于对短剩余期限的期权隐含波动率拟合欠佳。

为解决这一问题，有人试图发展出时变的Heston模型，也有人曾提出“双Heston模型”， 但任何对模型的扩展又会造成一些新的问题，如：加大了参数估计量， 新模型不存在显示解或是模型的泛化性能差等。

Heston模型虽然于90年代就已经被提出，但近年来的许多文章不断地发掘出以前未知的关于Heston模型的性质，为模型定价和参数估计提供了新的理论指导。也许对性质进一步的探讨，才是Heston模型未来发展的方向。

参考文献：

[1]FABRICE D ROUAH. The heston model and its extensions in matlab and C#，+ Website[M]. Wiley， 2013.

[2]RPLLIN et al.A new look at the Heston characteristic function[Z]. 2009.

[3]李星. Heston模型下的欧式期权定价及隐含波动率研究[D].成都：西南财经大学， 2016

[4]RICARDO CRISOSTOMO. An analysis of the heston stochastic volatility model： implementation and calibration using matlab[EB/OL]. https：//papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm？abstract_id=2527818

[作者简介] 吴致中（1998—），男，汉，江苏苏州人，四川大学商学院。