考虑视场角约束下的攻击时间控制制导律

陈升富,刘 丹,常思江

(1.南京理工大学 能源与动力工程学院,江苏 南京 210094;2.西北工业集团有限公司 设计二所,陕西 西安 710043)

随着现代战争饱和打击的需求与近防武器系统的发展,设计能够实现攻击时间控制的制导律正越来越受到学者的关注[1-5]。通过对导弹攻击时间的控制,不仅能够提高导弹在近防武器系统下的生存能力,还能使弹群各导弹之间无需进行数据交换就可实现联合攻击,完成对目标的饱和打击。

比例导引法因其鲁棒性和简易性而广泛应用于导弹制导[6-7],但传统的比例导引法没有考虑攻击时间约束,无法实现攻击时间的控制。为此,研究人员在传统比例导引法的基础上结合现代控制理论,通过设计偏置控制项[3-4]或时变比例系数[8-9]等方式实现攻击时间的控制。文献[4]针对非线性模型应用最优控制理论设计附加控制项,实现攻击时间控制。文献[9]提出一种修正比例导引法,通过时变的比例系数实现攻击时间控制。

在研究攻击时间控制制导问题中,为避免导弹机动可能造成的导引头丢失目标的问题,需要考虑导引头视场角限制下的攻击时间制导问题[10-13]。文献[10]在文献[3]的攻击时间控制制导律基础上,提出了一种常前置角制导律逻辑转换策略,实现视场角受限下的攻击时间控制。文献[12]通过附加控制项的方式设计出满足视场角约束下的攻击时间控制制导律,取得了较好的成果,但存在控制奇点,且末端制导指令变化较大。

本文针对上述问题,基于弹目相对运动数学模型,对考虑视场角受限的攻击时间控制制导问题展开研究。在传统比例导引法的基础上,采用偏置控制项的形式,得到了满足视场角约束且没有控制奇点的攻击时间控制制导律,并对制导律的性能开展研究,给出了仿真结果。

1 问题的描述

假设导弹的速度vm为常值,考虑平面内拦截静止目标的情况,其导弹和目标的运动关系如图1所示。

图1中,M表示导弹;T表示目标;γ,θ,R分别为导弹弹道角、目标视线角以及弹目连线距离;φ为导弹速度矢量前置角(简称前置角)。导弹与目标之间的运动关系满足如下运动学方程:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

θ=γ+φ

(6)

式中:am为制导指令。

忽略导弹的侧滑角,则导引头的视场角受限可看做导弹前置角受限[10,12]。此时,导引头的视场角受限问题,可描述为|φ(t)|≤φmax,φmax∈(0,π/2),是由导引头视场角边界所确定的常数。

定义如下攻击时间误差ξ为

(7)

假设:①导弹的初始前置角满足|φ0|≤φmax;②所需的攻击时间td选取合适,使得ξ∈I。本文的问题可简述为,设计一个制导指令am使得在所需的攻击时间td内满足如下方程:

(8)

2 攻击时间控制制导律设计

由前文可知,为实现攻击时间控制,制导律的设计需要用到剩余飞行时间tgo的估算。为简便考虑,本文设计如下形式的攻击时间控制制导律:

am=aPN+aξ

(9)

显然,由方程(9)可知,应使用比例导引法下的剩余飞行时间估算公式对tgo进行估算。考虑到在视场角约束下导弹的前置角较小,因此可直接采用文献[9]在小角度假设下推导的剩余飞行时间估算公式:

(10)

(11)

由式(11)可知,攻击时间误差的变化与偏置控制项aξ有关。为实现视场角约束下的攻击时间控制,设计如下偏置控制项:

(12)

式中:K>0,定义如下的函数:

(13)

ξ可由式(7)和式(10)获得。

因此,本文设计的攻击时间控制制导律具体形式为

(14)

由方程(14),结合式(3)～式(6)和式(11)可得到R,φ和ξ的导数:

(15)

(16)

(17)

由式(15)～式(17)可知,在满足假设①和假设②的条件下,式(15)～式(17)能够使得式(8)成立,即制导指令(14)能够实现视场角约束下的攻击时间控制。

引理1在整个制导过程中满足视场角受限,即集合S∈{φ:|φ|≤φmax}不变。

证明考虑如下Lyapunov候选函数:

(18)

由方程(16)可知,式(18)在整个制导过程中关于时间的导数为

(19)

(20)

显然,由不等式(20)可知,V1(φ)在集合S的边界值附近为负定函数。因此,对于满足|φ0|≤φmax条件下的攻击时间控制制导,整个制导过程中满足视场角受限要求。

引理2在整个制导过程中,其攻击时间误差ξ和前置角φ均收敛到0。

证明考虑如下的Lyapunov候选函数:

(21)

式中:C为常数,满足C≥4[(N-1)|sinφ|-ε0]/[K(2N-1)esinφ];ε0为常数,满足0<ε0<(N-1)|sinφ|。由引理1可知,方程(21)为正方程。其导数为

(22)

需要指出的是,对于φ∈S,以下不等式成立:

sinφs(φ)=|sinφ|

(23)

(φ-sinφ)s(φ)≥0

(24)

由不等式(24)可得:

(25)

对于ξ≤0的情形,不等式(25)满足:

(26)

(27)

(28)

综上所述,当选取合适的比例系数N、参数K以及所需的攻击时间td时,本文所设计的制导律能够实现视场角受限下的攻击时间控制。需要指出的是,文献[10]推导了较为完善的视场角约束下的攻击时间可控范围的计算方法。本文不再进行介绍。

3 仿真分析

为验证所提出的攻击时间控制制导的性能,本节将在不同条件下进行仿真验证并与文献[12]所提出的带视场角约束的攻击时间控制制导律进行对比分析,即:

(29)

仿真的统一参数为:导弹速度vm=300 m/s,加速度限制为amax=5g,g=9.81 m/s2,视场角限制为φmax=45°,初始弹目连线距离R0=10 km,初始弹目视线角θ0=0,比例系数N=3,参数K取4。

首先,在导弹的初始前置角φ0=-35°,攻击时间td分别为33.6 s,38 s和42 s的情况下进行仿真,需要指出的是,此时导弹仅在比例导引法下制导的飞行时间为34.62 s。所得结果如图2所示。

由图2可知,本文所提出制导律能够实现视场角受限下的攻击时间控制。由图2(a)可知,制导指令在初始阶段达到最大以调整攻击时间。由图2(b)和图2(c)可知,对于攻击时间减小的控制(即ξ<0),前置角不会达到视场角边界值。对于攻击时间增大的控制(即ξ>0),导弹前置角将先增大到视场角边界值,然后随攻击时间误差ξ趋向于0而逐渐收敛到0,验证了前文的分析。

在其他仿真条件不变的情况下,取初始前置角φ0=-5°,所需攻击时间td=42 s,并与文献[12]所提出的制导律进行对比,所得结果如图3所示。

由图3可知,本文所提出的制导律和文献[12]所提出的制导律都能实现视场角受限下的攻击时间控制。对比图3(a)可知,本文所提出的制导律在末端的加速度变化较为平滑,且没有达到过载限制。此外由图3(b)本文所提方法在视场角达到边界值的时间较文献[12]要短。这表明本文所设计的制导律具有一定的最优性。

为进一步研究本文所提出制导律的性能,考虑φ0=0和td=38 s的极端条件,并与文献[12]进行对比,所得结果如图4所示。

由图4可知,本文所提出的制导律在φ0=0的情况下能够完成视场角受限下的攻击时间控制,而文献[12]控制失败。这是因为当φ0=0时,由式(29)可知,文献[12]所提出的制导律为控制奇点,无法进行攻击时间控制。而本文所提出的制导律不存在控制奇点,能够实现攻击时间的控制。

4 结束语

本文以导弹-目标相对运动模型为基础,对考虑视场角约束下的攻击时间控制制导问题开展了深入研究。通过理论推导与仿真分析,可得到如下结论:

①本文所提出的攻击时间控制制导律能够较好地实现视场角约束下的攻击时间控制;

②无论是攻击时间增大(ξ>0)的控制或攻击时间减小(ξ<0)的控制,攻击时间误差ξ都能先于前置角φ收敛到0,且制导指令最终收敛为0;

③本文所提出的攻击时间控制制导律,不存在控制奇点,且控制结果具有一定的最优性。