基于新型创意平板折叠桌的研究

陈毓瑾， 蒯立宝， 占子龙， 钟培华

（1.上海交通大学 农业与生物学院,上海 200240；2.江西农业大学理学院，南昌 330045）

基于新型创意平板折叠桌的研究

陈毓瑾1， 蒯立宝2， 占子龙2， 钟培华2

（1.上海交通大学 农业与生物学院,上海 200240；2.江西农业大学理学院，南昌 330045）

研究一种可折叠桌子的加工制作，依据每组桌腿与一根钢筋相连接，在桌子由长方形平板逐渐折叠成桌子的动态过程中，根据客户设定的不同参数要求建立数学模型，利用解析几何知识和多目标进化算法得到多目标优化模型的非劣解关系式等方法，得到相对较优设计加工参数的集合，确定其最优加工参数，如桌腿木条开槽的位置、槽长度等，完成平板桌的个性化设计目标。

解析几何；非线性多目标优化；多目标进化算法；MATLAB7.0

0 引 言

桌子是现代生活中的常用家具，在带给人们居家生活便利的同时也存在着移动不灵活、占地空间大等弊端。现有一种新型可折叠的平板桌（如图1），桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。折叠桌外形由直纹曲面构成，造型美观、使用方便、稳定性较好且空间利用率高。

1 问题提出

研究特定条件下，即在给出长方形平板尺寸为1200 mm×500 mm×30 mm，每根木条宽25 mm，钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为530 mm时，建模分析得出折叠桌此时的优化加工参数(如槽长等)。

1.1 建模准备

图1 平板折叠桌

运用解析几何知识，以桌面圆心投影到地面上的点为坐标原点建立空间直角坐标系。结合平面几何圆的知识利用题目中提供的平板尺寸、每根木条宽度等求出圆形桌面的直径、木条条数以及最外面桌腿木条的长度等数据，并依据求出的数据计算出相关点的空间坐标，利用几何关系和MATLAB编程建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并求解出此折叠桌的设计加工参数即桌腿木条开槽长度和桌脚边缘性的数学描述。

1.2 模型的建立和求解

1.2.1 建立解析几何模型

以桌面圆心投影到水平地面的点为坐标原点，在水平面上以垂直于平板长边所在直线为x轴，以垂直于平板宽边所在直线为y轴，具体空间坐标系如图2所示。

图2 空间坐标系

图3 圆形桌面俯视图

由平板的尺寸1200 mm×500 mm×30 mm及要求的每根木条的宽度为25 mm，可知展开后每侧有20根木条。连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置且同一侧的木条是对称的，因此我们选择其中的同一侧的10条木条作为研究对象。折叠后桌子的高度为530 mm，而桌面厚度为30 mm，所以地面到桌面下面的距离为500 mm。由于桌面是圆形对称，每侧中间两根木条之间的中点与圆心的连线与木条垂直，而由于桌面为圆形且平板宽度为500 mm，即圆形桌面的直径为500 mm，其半径为250 mm。图3为圆形桌面的俯视图。

根据圆形桌面的内切圆和外接圆的几何关系及相关数据，由勾股定理得桌面长边边缘矩形木条的长度的一半等于每条木条的宽度（即25 mm）。而木板长边的一半为600 mm，所以最边缘的木条长度为（600-25）mm，即575 mm。

1.2.2 模型的求解

图4

如图4，对于第1根木条而言，a1b1=575/2=287.5 mm，连接ai、bi、ci三点得到三角形aibici，ai（i=1,2,3…n）为简化第i根木条为线段后的上端点；bi（i=1,2,3…n）为第i根木条简化成线段后与钢筋虚线的交点；ci（i=1,2,3…n）经ai端点做面y=-2.5垂线与之的交点。设第一根木条于地面夹角为θ，由空间直线位置关系bici平行且等于第一根桌腿木条得角∠aicibi=θ，aibi=575/2 mm。所以在三角形aibici中根据余弦定理得到：

由MATLAB计算得出各木条对应的槽长，见表1。此时桌面高度为50.00 cm及最外缘木条与水平面的夹角θ=1.0544（弧度制），因此得到了桌子的各参数，见图5，并绘制第i根木条槽长变化曲线图(如图6)，X轴表示角θ，Y轴表示槽长。

表1 第n根木条对应的槽长

图5 桌子的设计参数图

图6 槽长变化曲线图

因此得坐标，

再通过对求出的数据处理以及运用MATLAB模拟得到不同角度桌脚边缘线构成的曲面，如图7和图8（选取了两个不同角度得到的图）。

2 问题的深入研究

图7 桌脚边缘线构成曲面

图8 桌脚边缘线构成曲面

在前文问题解决的基础上进一步研究，由于折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意客户给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数如平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。经过实际检验，得出桌高700 mm、桌面直径800 mm的折叠桌适用范围较广，市场需求量大，故根据要求确定目标函数，通过多目标进化算法得到多目标优化模型的非劣解关系式，确定其最优的设计加工参数。

2.1 模型准备

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。先对桌子受力分析确定约束变量θ（桌腿最外侧木条与地面的夹角）的范围，从而保证桌子的稳固性。而后建立非线性多目标优化模型，设定自变量θ，S（第一条钢筋位置沿木条到桌面的距离），n（组成桌面的木条数），得到因变量与自变量的关系，设立目标函数D（总槽长），α（最中间木条与桌面夹角），n，运用多目标进化算法得到多目标优化模型的非劣解关系式。当桌高为700 mm、桌面直径为800 mm的情形下，运用MATLAB编制程序模拟1000次数据得到相对较优设计加工参数的集合[1-2]，具体数据见表2。

2.2 模型建立和求解

2.2.1 建立非线性多目标优化模型

图9 受力分析示意图

首先对桌子进行受力分析：对于中间木条存在作用力F1与外侧木条的作用力F2，如图9，使得对钢筋作用合力在水平面方向上平衡，即桌子侧截面最外两侧木条不张开，这样保持了桌子的稳固性。当木条最外侧AB与地面的夹角越来越小时，中间木条CD与水平地面的夹角越来越大，当中间木条CD与水平地面成直角时，桌子受力不平衡影响其稳固性。此时为桌子平衡的临界点，当木条最外侧AB与地面的夹角继续减小时，桌子不能够在地面上撑起。只有满足图9的情况下木条AB和CD的角度，桌子才能够保持稳固性。因此运用非线性多目标优化模型解决问题时，自变量θ在一定约束范围内且一定能够保持桌子的稳定性。

问题二运用非线性多目标优化模型[3-5]，选择3个自变量θ、S、n，可以得出自变量与因变量的关系，并运用多目标进化算法求出目标函数D、α、n。

自变量θ为第一根木条与地面所成的角；自变量S为第一条钢筋位置沿木条到桌面的距离；自变量n为组成桌面的木条数；常数C为木板厚度，C=30 mm(常数)；常数b为总木板宽度，b=800 mm(常数)；因变量a为木板长度（变量）；因变量d为每一木条宽，d=b/n（与n有关）；常数h为桌子高度，h=700 mm（含木板厚度）；因变量r为桌面外接圆半径，r2=(b/2)2+d2。因变量xi为第i个木条端点到与木条i垂直的直径距离：

因变量li为每根木条上端点所在位置的距离：

目标1 D为总槽长，即所有木条开槽长度：

因变量α为最中间木条与桌面夹角：

运用多目标进化算法得到目标函数：

表2

2.2.2 模型的求解

根据所求非线性多目标优化函数方程计算在桌高为700 mm，桌面直径800 mm的情形下的最优设计加工参数。运用MATLAB编制程序模拟1000次数据得到相对较优设计加工参数的集合（具体编程代码略），具体数据见表2。

由表中数据可以得到以下结论：1)木条条数相等情况下，开槽总长越长，所需木条长度越短。2)木条条数不相等时，木条条数越多，开槽总长越长，所需木条长度越短。

3 结语

结合解析几何与空间三维坐标知识解决给定尺寸规格下折叠桌的加工参数，模型更加具体化、形象化。进一步个性化设计研究时采用非线性多目标优化方法增强优化功能，同时非线性多目标优化模型克服了单一模型产生的局部优化现象，避免了传统优化模型的主观性，达到了在保证创意折叠桌稳定前提下依据不同客户需求的设计最优加工参数的目的，满足了客户一定范围内的个性化要求。

[1] 朱仁峰.精用MATLAB7[M].北京:清华大学出版社,2006.

[2] 董霖.MATLAB使用详解[M].北京:电子工业出版社,2009.

[3] 马清亮,胡昌华.多目标进化算法及其在控制领域中的应用综述[J].控制与决策,2006,21(5):481-486.

[4] 尚明忠,盖英杰,李树荣,等.油田开发规划非线性多目标优化模型研究[J].石油钻探技术,2003,31(4):59-61.

[5] 姚泽清,郑旭东,赵颖.全国大学生数学建模赛题与优秀论文评析[M].北京:国防工业出版社,2012.

Study on the Novel Originality of Plate Folding Table

CHEN Yujin1,KUAI Libao2,ZHAN Zilong2,ZHONG Peihua2
(1.School ofAgriculture and Biology,Shanghai JiaotongUniversity,Shanghai 200240,China;2.School ofNeoconfucianism,Jiangxi Agricultural University,Nanchang330045,China)

The processing of a folding table is analyzed.According to the connection of each group of table legs with a steel bar,the mathematical model is established according to the different parameters set by the customer in the process of gradually folding the table from the rectangular plate into the table.The analytic geometry knowledge and the multiobjective evolutionary algorithm are used to obtain the non-inferior solution relation of the multi-objective optimization model.This paper obtains optimal design parameters such as the position of the groove,slot length.The personalized table design goals is completed.

analytic geometry;nonlinear multi-objective optimization;multi-objective evolutionary algorithm;MATLAB7.0

O 224,TH 123

A

1002－2333（2018）01－0029－04

（编辑黄 荻）

陈毓瑾（1993—），男，硕士，研究方向为果树发育生物学、设施农业数字化技术与应用；

钟培华（1974—），男，硕士，江西农业大学数学建模实验室主任，副教授，研究方向为最优化理论与数学建模。

2017-03-08