狭缝宽度对双缝后光场分布的影响

刘长菊 丁 豹 谭玉彬 苏未安

(江西理工大学理学院，江西 赣州 341000)

物理学是许多自然科学领域以及工程技术的基础。因而，大学物理成为了高等院校理工科专业重要的基础课和素质教育课。该课程在系统地打好物理学基础的同时，能够培养和提高学生的科学素质、思维方法和研究能力，甚至激发其探索创新精神。然而，物理学知识一般都比较抽象，学生难以理解和掌握。功能强大的Matlab软件能够弥补其不足，Matlab软件的模拟、可视化功能可以直观地呈现各种抽象的物理过程，便于学生理解和掌握[1-7]。作为大学物理重要内容之一的波动光学在当前就得到了广泛的模拟[7-16]。

当平行光通过双缝时，其后场是单缝菲涅耳衍射与双缝干涉的综合作用结果，难以得到精确的解析分布。但通过对恰当的物理模型进行数值仿真，就能够得到其光场的详细分布信息。因而，近年来有不少研究者模拟研究了这一物理过程[7-16]。然而，不少研究者却从远场、傍轴近似下的杨氏双缝干涉结果出发进行了模拟研究[8,11-16]，甚至讨论近场干涉或者非傍轴干涉时也如此[12]；或者只是简单的利用单缝夫琅禾费衍射结果对杨氏双缝干涉进行修正[8,13-15]。这些模拟研究所使用的物理模型的合理性和普适性都是值得商榷的。一般而言，平行光通过双缝后的光场分布可由最基本的惠更斯-菲涅耳原理计算获得[17]。崔祥霞等人从惠更斯-菲涅耳原理出发编写了单缝衍射、杨氏双缝干涉以及多缝干涉的Matlab模拟程序[18]，而张中月等人则根据惠更斯-菲涅耳原理探讨了单缝衍射及双缝干涉时缝宽对条纹宽度的影响[7]。然而，诸如狭缝宽度对后场的影响等基本问题还有待澄清，且非远场、傍轴近似的双缝干涉结果至今也未有定论。因此，从最基本的惠更斯-菲涅耳原理出发模拟平行光通过双缝后的光场分布仍具有一定的研究价值。因而，本文在惠更斯-菲涅耳原理的基础上，利用Matlab软件计算模拟了双缝后的光场分布,详细地讨论了狭缝宽度对双缝后场光强分布的影响。

1 双缝叠加的理论模型

光的双缝叠加原理如图1所示。双缝所在平面(用x′轴表示)与前光阑之间的距离为l，双缝间不透光部分宽度为d，双缝宽度分别为a和b；接收屏(用x轴表示)与双缝所在平面之间的距离为R；通过前光阑的轴线垂直平分双缝间不透光部分，轴线与接收屏交于O点。

图1 光的双缝叠加原理图

根据菲涅耳衍射积分公式[17]，接收屏上距离轴线O点x处P点的光振动为

(1)

(2)

(3)

通过式(3)计算就能够获得任意宽度的双缝在接收屏处的光强分布情况。

2 计算结果及其讨论

为了探讨狭缝宽度对双缝光叠加的影响，根据由惠更斯-菲涅耳原理导出来的公式(3)，利用Matlab软件计算了波长λ为640nm的单色光通过间距d=5.0 mm的不同双缝后在R=2.0m处接收屏上的光强分布。

图2 波长λ=640nm的单色光通过宽度a=b=2.5×10-7m的双缝(d=5.0×10-3m)在R=2.0m处接收屏上的光强分布

图2(a)与图2(b)分别是入射光线通过a=b=2.5×10-7m的双缝后在接收屏上的光谱线图和光强分布及单缝夫琅禾费衍射因子曲线。结果表明由于衍射效应，狭缝之后的光线在垂直于狭缝的x轴方向得到展宽，使得通过双缝后的两光场在大范围区域进行叠加，导致接收屏上距离轴线O点10m之内的区域均有不为零的光强。但由于缝宽a=b<λ，在后场中只观察到中央明纹，并且光谱包络线与夫琅禾费单缝衍射因子曲线却有较大的差异，尤其是离轴较远之处。尽管两者的相对强度在x=0的中央位置附近都为1，但x=10m处光谱包络线的相对强度I=8.3×10-3，仅为夫琅禾费单缝衍射强度(I=0.6015)的1.38%。导致这种结果的主要原因就是该物理过程中的单缝衍射为菲涅耳衍射，而不是夫琅禾费衍射。为了详细讨论接收屏上相对光强的变化，图2(c)和图2(d)分别给出了相对光强从1开始减小的临界区域内(-0.265m

图3给出了单色光通过a=b=2.5×10-6m的双缝后在接收屏上的光强分布。由图3(a)和图3(b)可见，只有-2m

图3 波长λ=640nm的单色光通过宽度a=b=2.5×10-6m的双缝(d=5.0×10-3m)在R=2.0m处接收屏上的光强分布

图4 波长λ=640nm的单色光通过宽度a=b=2.5×10-5m的双缝(d=5.0×10-3m)在R=2.0m处接收屏上的光强分布

当双缝宽度进一步增加到a=b=2.5×10-5m时，单色光在双缝后接收屏上的光强分布如图4所示。缝宽的增加降低了衍射展宽，使得接收屏上的光谱重叠范围缩小。图4(a)和4(b)显示仅当|x|<0.2m时，接收屏上的光强才不为零，其包络线与夫琅禾费单缝衍射的结果一致。图2至图4均表明在接收屏上距轴线较近之处，虽然杨氏双缝干涉的近似不成立(图4(c)中仅当-0.004m

图5 波长λ=640nm的单色光通过双缝宽度a=b为(a,b) 4.5×10-5m、(c,d) 9.0×10-5m和(e,f) 1.25×10-4m的双缝(d=5.0×10-3m)后在R=2.0m处接收屏上的光强分布

双缝宽度增加到4.5×10-5m(～70λ)时，接收屏上出现了最小光强不为零的区域(图5(b)中计算曲线下方的白色区域)，其极值出现在x～2.5×10-3m处且随着缝宽的增加而增大(详见图5)，在a=b=2.5×10-4m(～390λ)时甚至超过了50%(见图6(b)与图6(d))。这表明当光通过70λ以上的狭缝时，因光的衍射效果减弱，直线传播的性质逐渐表现出来了。当通过双缝的衍射光在后场叠加时，由于衍射展宽的效果较弱，接收屏上除中央位置外各点的光强差别较大，叠加后的光强自然就不可能达到零。且衍射作用随着缝宽的增大而减弱，导致了最小光强随着缝宽的增大而增强。通过双缝的衍射光在狭缝中心出的差别最大，因而最小光强的极大值出现在x=±(a+d)/2～±d/2处，与计算结果一致。

当单色光通过缝宽a=b=2.5×10-3m的双缝时，其后场2.0m处观察到的仅为两条明亮的光线(如图7(a)与图7(b)所示)，此时，直线传播的特性表现出来，而衍射特性不再明显。而在两条光线的中间，还存在着条纹结构(如图7(c)和图7(d))，这表明衍射效应仍然存在，只是不显著了。图7(e)和图7(f)给出了640nm的光通过a=2.5×10-3m的单缝后的光场分布。计算结果也说明光通过宽缝时主要表现为直线传播性质，衍射对光强分布的作用很微弱。因而，当可见光通过宽度大于70λ的双缝后，其直线传播性质逐渐表现出来，后场的光强分布就不能近似为夫琅和费单缝衍射调制的双缝干涉结果。

图6 波长λ=640nm的单色光通过宽度a=b=2.5×10-4m的双缝(d=5.0×10-3m)在R=2.0m处接收屏上的光强分布

图7 波长λ=640nm的单色光通过宽度a=b=2.5×10-3m的双缝(d=5.0×10-3m，图(a)～图(d))及a=2.5×10-3m的单缝(图(e)和图(f))后在R=2.0m处接收屏上的光强分布。深色线为计算结果，浅色线为夫琅禾费单缝衍射结果

图8 波长λ=640nm的单色光通过等宽双缝后在R=2.0m处接收屏上的光强分布(a，b) a=b=2.5×10-4m，d=7.5×10-4m；(c，d) a=b=2.5×10-5m，d=7.5×10-5m；(e，f) a=b=2.5×10-6m，d=7.5×10-6m

图9 波长λ=640nm的单色光通过缝宽不等的双缝后在R=2.0m处接收屏上的光强分布其中，a=2.5×10-5m保持不变；(a，b) b=1.5×10-5m，d=5.0×10-5m；(c，d) b=1.0×10-5m，d=5.0×10-5m；(e，f) b=5.0×10-6m，d=5.0×10-5m

为了研究光通过宽度不等的双缝之后的行为，我们计算了不透光部分d保持为5.0×10-5m，一个缝宽a保持为2.5×10-5m，而另一缝宽b分别为1.5×10-5m，1.0×10-5m和5.0×10-6m的3种双缝之后的光场分布。波长为640nm的光波通过宽度不同的3种双缝之后在2.0m处的光强计算结果如图9所示。通过对比不难发现，随着两狭缝宽度差异的增大条纹变得越模糊而位置与强度却只有轻微的变化。其主要原因在于随着两缝宽度差值的增大，暗条纹的光强就随之增加，从而使得反衬度γ降低，导致了条纹模糊不清[17]。当两缝宽度均为2.5×10-5m时，接收屏上的反衬度γ=1(如图8(d))；而将其中的一缝宽度b减少到1.5×10-5m,1.0×10-5m和1.0×10-5m时，接收屏中央位置附近的反衬度γ分别降低到0.904，0.734和0.451，条纹逐渐模糊不清(如图9所示)。其3种双缝结构之后第一级主极大的位置分别为1.77×10-2m，1.81×10-2m和1.83×10-2m，对应的相对光强I分别为0.73，0.72和0.68。可见，主极大的位置随着双缝宽度差异的增加而向外侧轻微移动，并且其光强也有所降低。

3 总结

基于惠更斯-菲涅耳原理和Matlab计算仿真详细地探讨了双缝宽度对于其后光场分布的影响作用。对于不透光部分d=5.0×10-5m的等宽双缝结构，狭缝宽度与光波长同量级时，后场中央附近的光场分布可以近似为杨氏双缝干涉结果；当狭缝宽度比光波长大1～2个量级时，中央附近的光强可近似为单缝夫琅禾费衍射修正的杨氏双缝干涉结果；而当狭缝宽度比光波大3个以上的数量级时，光波通过双缝后主要表现为直线传播特性。(a+d)/a值较小的双缝结构之后的光场为典型的光栅衍射光谱。当(a+d)/a值保持不变时，各级条纹的位置随着光栅常数的减小向远离轴线的方向移动，而相对光强的没有发生显著的变化。而当两狭缝的宽度不等时，后场光谱随着宽度差距的增加使得反衬度γ降低，导致条纹模糊，其位置向外侧轻微移动而光强缓慢下降。