A、B两点漂流记

同学们，在我们学习函数知识的过程中，一定绕不开对图像的学习.我们知道所有的对函数图像的研究常常从图像上的点开始，今天我们就从A、B两点开始，来一次漂流之旅.

问题1 已知A（2，0），B（-2，0）两点在二次函数图像上，你能得到哪些结论？

【分析】这里我们很多同学首先想到的是通过待定系数法来探究，即先设y=ax2+bx+c（a≠0），然后把点代入看看.这一思路并不奇怪，相反，它是我们将点与图像的“形关系”对应到坐标与函数表达式的“数关系”的一种“最近联想”.

可以解得：b=0.但对a和c，只能判断出其关系为4a=-c.因此对于问题1，我们可以给出上述的结论.那么这个问题还有其他结论吗？如果沿着b=0，4a=-c继续往下思考，其二次函数表达式就为y=ax2+c，这个函数图像有什么特征呢？结合教材，我们知道这个二次函数图像的对称轴为y轴所在直线，顶点坐标为（0，-c），这也是可以得到的结论.有的同学还可以得到函数图像与横轴有两个不同的交点等其他正确的结论，在此不一一列举.下面，我们继续跟着这两个点漂流，看看还有什么发现.

问题2 已知A（2，1），B（-2，1）两点在二次函数图像上，你能得到哪些结论？

这个问题看起来和问题1有点类似啊！我们继续按照上面的思路思考

可以解得：b=0，此时a和c的关系已经变为4a=1-c.进一步思考，我们发现这个二次函数的对称轴依然为y轴所在直线，顶点坐标为（0，c）.当然，这里a，c的值与问题1中a，c的值未必相同.可能有同学就会猜想了，为什么这两个点变化了，我们都能得到对称轴仍然是y轴所在直线呢？这条对称轴的表达式为：直线x=0.它和我们所给的两点有关系吗？A、B两点有什么特征呢？带着疑问，我们继续跟着A、B两点漂流.

问题3 已知A（m，p），B（-m，p）两点在二次函数图像上，函数图像的对称轴还是y轴所在直线吗？

漂流到这里，聪明的你一定发现此时“漂流”的这两点是有一个规律的，那就是横坐标互为相反数，纵坐标相同.那么具有这样“式结构”特征的坐标，其对应的图像“形结构”一定是对称轴为直线x=0吗？我们仿照问题1的思考路径，将两点代入到函数一般式里去，得到：

把m，p视为常数，解得：b=0，此时a和c的关系为m2a=p-c.也就是说，此时的二次函数表达式还是y=ax2+c.那么其对称轴依然是直线x=0（即y轴所在直线）.这样的发现已经初具数学的一般性了.不过我们如果继续跟着这两点漂流，还有更惊奇的发现.

问题4 已知A（m，p），B（n，p）（m≠n）两点在二次函数图像上，那么这个二次函数图像的对称轴是什么呢？

两式相减得到：（m+n）（m-n）a+（m-n）b=0，等式左边分解因式得到：（m-n）［（m+n）a+b］=0，因为m≠n，所以（m+n）a+b=0，可以进一，即二次函数图像，当m=-n时，即为前面问题所得到的结论：二次函数图像的对称轴为直线x=0.那么，到这里我们就不难得出这样一个结论：如果二次函数图像上两点的纵坐标相同，如：A（m，p），B（n，p），那么这个二次函数

其实这个结论的发现可以从上面的思路以“数”的角度进行推理得出，还可以从“形”的角度得到.首先看问题1，把A（2，0），B（-2，0）两点置于平面直角坐标系中，就可以看出他们是在同一条直线上的两点，即二次函数图像与x轴的两个交点.那么根据二次函数图像的轴对称性，可知这两点是关于二次函数图像对称轴对称的两点，所以可以知道其对称轴就是y轴所在直线.同理推广到一般化A（m，p），B（n，p）两点，则是二次函数图像与直线x=p的两个交点，也是关于其对称轴对称的，所以对称轴

那么两点漂流到这里，很多同学心中一定有所感悟，原来通过二次函数图像上的符合这样特征的两点还能知道抛物线的对称轴啊！这个发现对我们解决有关的二次函数问题有很大帮助.

问题5 已知二次函数y=2（x-1）（x-m-3）（m为常数）.

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.

（2）如果二次函数图像的对称轴过点（3，0），那么将这个函数图像向上平移多少个单位，与x轴只有一个公共点？

【解析】（1）证明略，过程见第43页例3.

解：（2）因为二次函数图像对称轴过点（3，0），又总过点（1，0），那么根据前面的理解，可知点（1，0），（m+3，0）关于直线x=3对称，所以可以求得m=2，于是可得函数表达式为y=2（x-1）（x-5），求出顶点坐标为（3，-8），所以函数图像向上平移8个单位与x轴只有一个公共点.