解 析二次函数中的常见错误

二次函数是初中数学的重要内容.有些同学由于概念不清、方法不明，经常在解决二次函数相关问题时出错.现对二次函数的典型易错题进行举例并剖析，以供同学们学习时参考.

一、忽略二次项系数不为0

例1 若y=（m2+m）x||m-1+（m-3）x+m2是二次函数，则m的值为_______.

【错解】令 ||m-1=2，解得m1=-1，m2=3.

【剖析】本题考查二次函数的定义.错因是对概念理解不透彻，忽略了二次项系数a≠0.

【正解】由 ||m-1=2，得m1=-1，m2=3.又∵m2+m≠0，即m≠0且m≠-1.

∴应取m=3.

【点评】y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式，必须满足二次项系数不等于0.同学们解题时，不能看到“二次”就只顾“指数”，实际上，还需考虑a≠0，这样就符合我们对二次函数的一般定义.同学们在平时对二次函数等概念学习时，不仅要“看样子”，还要“讲条件”.

二、图像平移变换错误

例2 把拋物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____.

【错解1】y=2（x-1）2-4x+3.

【错解2】y=2x2-4x+4.

【错解3】将y=2x2-4x+3化为顶点式，得y=2（x-1）2+1，向左平移1个单位长度，得y=2（x-1-1）2+1=2（x-2）2+1.

【剖析】本题考查二次函数图像的平移规律.将二次函数化为顶点式，按照“左加右减，上加下减”即可，也可利用数形结合求解.错解1只考虑了二次项变化，忽略一次项；错解2表示的是向上平移1个单位长度；错解3将规律记成“左减右加”，导致错误.

【正解】将y=2x2-4x+3化为顶点式，得到y=2（x-1）2+1，向左平移1个单位长度，得y=2（x+1-1）2+1=2x2+1.

【点评】抛物线的平移不改变形状，只改变图像的位置.同学们可以借助画图，利用数形结合的思想解决问题，也可记住平移规律，确定顶点坐标，按照“左加右减，上加下减”的规律进行平移，即可得到正确答案.

三、忽视分类讨论

例3 在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C（5，4）.若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围.

【错解】因为A（-1，0），抛物线过点A，所以b=-2a.当抛物线过点C时，25a-10a-3a=4，解.根据a的值越大，抛物线开口越大，得

【剖析】本题考查抛物线与直线（线段、射线）的交点问题.题目中抛物线函数的二次项系数a的正负性未知，需分类讨论.由于本题抛物线表达式不确定，需特别注意，当a为负数时，抛物线顶点在线段BC上的情况.

同时，不能厘清a的大小和抛物线开口大小的关系，也是同学们经常会犯的错误.我们知道，二次项系数与抛物线开口大小关系应是：a的绝对值越大，抛物线开口越小.

【正解】因为A（-1，0），抛物线过点A，所以b=-2a，抛物线对称轴为x=1.①a＞0，当抛物线过点C时，25a-10a-3a=4，解得a=.根据a的绝对值越大，开口越小，得a≥

③a＜0，当抛物线顶点在BC上时，此时顶点为（1，4），∴a-2a-3a=4，解得a=-1.

【点评】解决抛物线交点问题，常常需要分类讨论，常见的是对二次项系数a的分类.同学们应细心关注题目中的隐藏线索，并牢记抛物线二次项系数a与图像开口大小的关系：a的绝对值越大，图像开口越小.

四、忽视实际意义

例4 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.求矩形菜园ABCD面积的最大值.

【错解】设AD=x米，∴SABCD=x（100-x）=-（x-50）2+1250，则x=50时，SABCD的最大值为1250.

【剖析】本题考查二次函数最值问题.同学们解题时习惯性认为二次函数最值是顶点坐标的纵坐标，未考虑实际问题中自变量的取值范围.

【点评】二次函数是刻画实际问题的一个有效模型，解决此类问题要注意问题对变量的限制.