《曲面积分》的教学方法探索

摘 要：本文首先分析传统的曲面积分教学方法存在的三个弱点：学生学习主动性差、知识结构混乱和不能解决实际问题，然后提出按照“问题—数学模型—计算—应用”组织教学内容，从“示范、模仿、讨论与练习、总结、应用探究”五个方面完成以课堂讨论为主的教学方法。多次教学实践结果表明该教学办法能够提高学生自主学习的能力、计算能力和解决应用问题的能力，从而提升教学效果。

关键词：曲面积分 讨论式学习 数学模型

一、存在的问题分析

曲面积分是高等数学的重点和难点，在通行的教材[1]中将它分解到对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分和高斯公式（含通量与散度）三节中，教师讲课时，基本上采用老师台上讲、学习课上（后）练的教学方法，勤奋的同学能够学会解特定类型的数学计算问题，很多同学一团糟，即使考试通过也不会用，达不到学以致用的目的。

通过与学生和专业课教师交流和分析试卷后，我们发现以下问题：（1）学生不是课堂的主角，学习主动性很差；（2）老师讲得太快，学生跟不上教师的节奏，从而放弃；（3）会算某些题，但遇到应用问题就束手无策；（4）解题思路混乱，计算中错误百出。

分析这些问题，我们发现按照教程常规教学中的一些弱点：（1）学生不能主动融入课堂教学过程，课堂学习效果有折扣；（2）学生没能有效地形成知识的组织结构，故会解题思路混乱；（3）讲授背景知识来源单一或对后续课程了解较少或不知如何应用，只在高等数学的圆圈里转，因此学生也就不会应用。针对这些问题，经过几年的教学探索与实践，认为可以引入以讨论式学习为主的教学方法和数学建模内容，可以部分避免这些弱点，提升教学效果。

二、教学方法与实践过程

（一）依照教學目标，重新设计教学过程

曲面积分的教学目标是希望学生学习完成后不仅能够计算书后的题目，还能从实际问题中建立曲面积分模型，然后利用曲面积分的计算方法得到结果。因此，我们将教材[1]中的三节内容作为一个整体来进行教学设计，沿着“问题—数学模型—计算—应用”四个部分的进行内容组织，按照“示范、模仿、讨论与练习、总结、应用探究”五个方面完成教与学，并以课堂讨论与总结为主要形式。

示范：教师主讲，学生主学。教师利用元素法建立2-3个曲面积分模型，同时强调两类曲面积分之间的区别与联系，学生主学。

模仿：学生动口动手动脑，教师指导。学生课堂讨论并模仿老师的步骤建立2-3个曲面积分模型，并小结建模过程及关键点。

讨论与练习：学生为主，教师引导。在教师引导下，学生由简到繁、由特殊到一般的次序讨论曲面积分的计算问题，动手实际完成计算过程，并小结计算步骤和注意细节。

总结：教师与学生共同参与，学生为主，教师补充。先由学生在课堂上总结模型建立和求解的方法与步骤，教师补充完善，尤其注意计算方法的总结要细致、指导性强。

应用探究：依照“问题-模型-求解”的流程，学生分组完成1-2个课外研究题目，并提交电子文档；此阶段学生为主完成，教师指导和监控进度。

（二）组织课堂讨论，促使学生主动学习

课堂讨论分为模型建立和模型求解即曲面积分的计算两个阶段。建模的题目可以涉及多个方面，如不规则曲面的压力计算问题，球面的面积，圆环的表面积问题，具有特殊电荷分布的电场强度，通过某个曲面的光通量，通过水闸口的水流量等等，总之，通过对这些问题的讨论，学生能够模仿教师的示例建立曲面积分模型。在模型建立的时候不要直接选择直角坐标系，而是让学生根据具体问题来进行选择。

曲面积分的计算是重点讨论内容，需要时间较多，要求每个学生都参与其中。具体过程：（1）教师不要直接要求学生去解决一个题目，而是引导学生分析所得的模型，全面了解曲面积分计算涉及的多个影响因素：被积函数、曲面及其方程、面积元素以及坐标系；（2）教师引导学生讨论并确定平面、圆柱面、圆锥面、球面、旋转抛物面和一般曲面在不同坐标系下的标准方程、法向量和面积元素表达式，建立起计算曲面积分的基本量及其相互的影响，并考虑被积函数的影响；（3）对教师给出的精选的例题进行实际计算，强化通过讨论获得的知识。整个讨论过程，教师要适当引导但又不能操之过急，在学生讨论情绪高涨时不要打断它们，只需要提醒它们别偏离方向太远就行。

通过积极的课堂讨论，可以促使学生主动学习，形成曲面积分的自己独特的知识结构。

（三）注重总结，完善学生的知识结构

总结有利于形成知识结构，是数学知识内化为学生的能力的重要步骤。学生必须参与知识、方法和步骤的总结过程，以完善学生的知识结构。总结可在完成相关内容的课堂讨论以及每完成一部分教学内容（如建模、计算）后进行。先由学生进行简短的总结，然后由教师要对他们的总结进行点评、提升和完善，因此总结是多方面、多阶段完成的。

（四）增加课外探究题目，提升学生综合能力

为了巩固课堂学习效果，提升学生综合能力，除了必备的计算题目外，我们还增加了多个课外探究题目，如利用曲面积分证明阿基米德浮力定律，利用曲面积分计算的电场强度、空间立体角等实际应用性较强的题目，也有游泳圈的表面积、球面上多边形的面积计算等数学味道的应用题。对这些题目，让学生分组讨论完成，并提交电子文档，提升学生的综合应用数学知识的能力以及人际交流能力和计算机能力。

三、教学效果

与传统教学方法比较，学生通过本文的教学过程的收获更多：“更深刻地理解了dS、dxdy、dydz、dzdx之间的关系，更深入地体会如何根据曲面选择合适的坐标系计算曲面积分”，“通过探究题目，对高斯公式有了更深层次的理解”，“对曲面积分的应用有了深刻了解，学会了用曲面积分知识去处理一些应用问题”等；同时，学生在期末考试中曲面积分的题目的平均得分率也提升了近20%。因此，实行这种教学方法整体上是有一定效果的。

四、问题与思考

教学实践中也遇到一些问题：（1）由于增加了不少课堂讨论和探究内容，占用学时数会增加；（2）合适的探究题目的选择难度较大，不易把控；（3）由于传统考试中不能考察学生的建模与应用能力，只能增加平时成绩的比例；（4）课堂讨论需要学生先期预习或者自学相关内容，有少部分学生办不到，会降低他们课堂讨论效果；（5）大多数同学容易接受该教学方法，但有少量学生确实不适应，它们在期末考试中成绩极低，如何兼顾这少量的学生需要更有效的办法。

针对教学实践中出现的这些问题，我认为可以在教材编写、学习效果考核、学生选课前的指导方面进行改变，可能会部分消除这些问题。

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学第七版下册[M].高等教育出版社，2014：7.

作者简介

张兴元（1971.04—），男，汉族，籍贯：重庆忠县，硕士，副教授，现就职于西南交通大学数学学院（峨眉），研究方向：数学建模与数学教学。