“实数大小比较”有妙招

蒋根林

数系扩充到实数后，数的概念范围扩大了，我们已步入实数的殿堂.在有理数范围内可以进行数的大小比较，那么学习无理数以后，在实数范围内如何进行数的大小比较呢？下面结合具体例题给同学们总结归纳.

妙招1：数形结合法

【例1】比较大小：[-2]，-2.

【解析】我们知道边长为1的正方形对角线长为[2]，于是先在数轴上画出表示[-2]的点，如图：

由于表示-2的点在表示[-2]的点的左边，所以-2<[-2].

【回顾】事实上，我们还可结合勾股定理，利用數轴来比较[-5]、[-7]等的大小.

妙招2：“回到概念”法

由于数学概念本身有“双向性”：“正向”与“反向”，所以，在用概念时就有“正用”和“反用”两种方法.

【例2】比较[-3]与[-2]的大小.

【解析】比较两个负数的大小，可先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小.由于[-3]=[3]，[-2]=[2]，3的算术平方根为[3]，2的算术平方根为[2]，因为3>2，所以[3]>[2]，故[-3]<[-2].

【回顾】我们借助平方根、立方根的意义，对它们的概念作出分析，从中悟出道理：一个较大的非负数的算术平方根较大；一个较大数的立方根较大.然后加以应用，问题获得解决.

【例3】比较大小：

（1）[140]与12；（2）[93]与2.5.

【解析】（1）因为[140]是140的算术平方根，可反用平方根概念，所以（[140]）2=140.

又因为122=144>140，所以[140]<12.

（2）因为[93]是9的立方根，所以反用立方根概念，（[93]）3=9，

又因为（2.5）3=15.625>9，所以[93]<2.5.

【回顾】这里主要是对平方根、立方根的概念逆向思考.一个非负数a的平方根为：[±a]，反过来，（[±a]）2=a（a≥0）；一个数a的立方根为[a3]，反过来，（[a3]）3=a.上面的求解就是反用概念的“平方法”或“立方法”.

妙招3：估值法

【例4】比较大小：[19]+2______[51].

【解析】由于4<[19]<5，所以6<[19]+2<7，又由于[51]>7，所以[19]+2<[51].

【回顾】对于能直接估计出大小的两个平方根的大小比较时，我们应该首先考虑用估值法比较两个平方根的大小，因为这种大小比较的方法最直接.对于有些无理数，我们可以综合平方根或立方根的知识，来一个两头“夹逼”，找出与这些无理数紧相邻的两个完全平方数，确定这个无理数所在的范围，然后再与其他数比较大小.

妙招4：特值法

【例5】若0

【解析】因为0

【回顾】特值法对于处理“直接填写答案”的题型（包括填空、选择题型）很有效果.对于解答题或数学研究来说，特值法是“以退为进”策略的具体化体现，通过赋值分析，往往能发现规律、提示解答方向，是一种很有意义的求解策略.

（作者单位：江苏省南京市科利华中学）