例谈用“构造法”证明不等式

胡晓东

在证明不等式时，根据欲证不等式的具体结构特征，通过观察、联想、构造出方程、函数、不等式、图形、数列、复数、向量等某个数学模型，并将所证的不等式转化为研究该数学模型的特征，达到简化证明的目的，这种证明方法叫构造法.

下面通过举例说明应用构造法解不等式的一些途径.

1 根据所给不等式的特征，构造恰当的初等函数或方程，以此作为映射关系，然后利用函数的奇偶性、单调性等性质来证明不等式

命题得证.

小结 构造法解题的思维过程具有灵活性，若引进辅助元素，使不等关系与求解關系得到沟通，便于理顺等量关系，就可进行式子变换，使得问题化难为易，体现了避实击虚的策略.

2 从数形结合，数形转化的角度出发，构造几何图形，通过几何图形的直观性获解

小结 当结论与条件之间的联系曲折隐蔽时，可通过数形沟通代数与几何之间的知识联系，或更换角度看问题，把题目改述，形成熟悉易懂的形式，从而使思路明朗起来.

3 从欲证的不等式分析，构造数列解题

小结当结论出现n个数时，我们考虑构造数列，一方面利用数列的增减性，另一方面利用一些著名的不等式来求解，往往可从结论入手，将它分解成几个小结论来处理，使得求解较易一些.

4 利用题设条件，构造相应的不等式与有关性质解题

小结 有些题目提供的条件，应用等价性命题（包括定义、定理、充要条件等）把它转化为简单的问题，便于寻找解题途径.

小结 构造复数，通常考虑到复数的模的性质及其几何意义，并结合三角不等式，进行适当的放缩不等式，使得问题解决.

6 观察欲证不等式，构造向量解题

由于构造法具有非常规性，所以构造内容也变化不定，灵活性强，切不要单纯以哪一种思想方法为教学对象展开教学，这样，学生不仅不能很好领会思想方法的深刻内涵，反而使学生对所论及的数学思想方法的理解变得机械、僵化，甚至产生某些偏差，希望通过一两节课或几节课就达到什么目的是不可能的，学生在学习一般知识的过程中、在教师的启发下，对其中蕴涵的构造思维方法逐渐产生感性认识，经过多次反复，在比较丰富的的感性认识基础上逐渐概括成理性认识，然后在应用中对形成的思想方法进行验证和发展，进一步加深对它的认识，但是值得注意的是，如果一味长期、反复地渗透，而不在适当的时机加以明确，将会影响学生从感性到理性的飞跃的认识，影响学生对构造思维方法的掌握，所以，适当地渗透后的明确是必要的，

参考文献

[1]赵小云，叶立军.数学化归思维论[M].北京：科学出版社，2005

[2]陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社， 2001