洛必达法则教学的几点思考

摘 要 两个无穷小（大）之比的极限可能存在，也可能不存在。如果极限存在，其极限值也不尽相同。因此，通常把这种极限叫做未定式。而洛必达法则，就是以导数为工具，研究未定式的极限的一种方法。

关键词 型未定式 洛必达法则

中图分类号：O171 文献标识码：A

在高等数学中，极限的计算是非常重要的，求解方法多样。其中洛必达法则是求未定式极限的一种重要方法。一般未定式基本类型有型。在使用洛必达法则时，一定要注意使用的前提条件。本文结合学生在使用洛必达法则时较多出现的错误，做出分析，并给出正确的解法。这对我们学习洛必达法则是非常有帮助的。

预备知识：

定理1.（型洛必达法则）

设（1）时，函数及都趋于零；（2）在点a的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大）则。

注意：（1）此两个定理中将全部换成（或）也成立；

（2）此两个定理中将全部换成（或；或）也成立；

（3）型洛必达法则类似。

在使用洛必达法则，应该注意以下几点：

（1）使用洛必达法则时必须检验是否是未定式。若不是未定式，就不能使用洛必达法则。

（2）当不存在（无穷人除外）时，不能使用洛必达法则。

（3）检查函数式中是否存在非零极限的乘积因子，如果有先将其分离出来。

（4）只要符合定理1中的所有条件，洛必达法则可多次使用。

（5）其它形如型也可通过代数运算或对数运算把其化成未定式，再用洛必达法则来计算。

下面从4个例题出发，先给出学生的常见错误解法，并对其错误进行分析，最后给出了正确的解法。

例1：求极限：

错解：

分析：所求极限属于型未定式，可以使用洛必达法则。此题解法中第一个等号是错误的，学生把洛必达法则公式与商的求导法则混淆了。，而是。

正解：

例2：求极限：

错解：

分析：所求极限属于型未定式，但大家注意此题求的是数列极限，不是函数极限。对于数列极限，不能直接使用洛必达法则。因为n为自然数，数列的定义域是离散点集，数列不存在导数。因此，此题的解法错误。我们可以将数列极限转化为函数极限，再使用洛必达法则。我们知道，如果函数的极限存在，那么数列的极限也存在且等于函数的极限。

正解：

例3：求极限：

错解：

分析：所求极限属于型未定式，可以使用洛必达法则。但此题解法中第一个等号不成立。因为不存在（除无穷大以外），不满足洛必达法则的第（3）个条件，所以不能使用洛必达法则。此题正确解法是：可利用等价无穷小替换，以及无穷小的性质（无穷小与有界函数的乘积是无穷小）来计算。

正解：

例4：求极限：

错解： 不存在

分析：所求极限并不是未定式，其中分子极限不存在，分母极限是无穷大。不是未定式时，不能使用洛必达法则。因此此题解法中第一个等号不成立。此题正确解法是：可利用无穷小的性质（无穷小与有界函数的乘积是无穷小）來计算。

正解：

时，是无穷小；而是有界函数。

利用无穷小的性质，无穷小与有界函数的乘积是无穷小。

通过以上4个易错例题的分析，学生在使用洛必达法则过程中需要对其使用的条件，结论全面的了解和掌握。通过多做相关习题，进一步加深理解。

作者简介：高燕，（1973- ）.女，硕士研究生，讲师，研究方向：基础数学。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007：132-137.