望远镜塔架系统试验模态分析

杜福嘉 ，李爱爱 ，3，张志永

（1.中国科学院国家天文台 南京天文光学技术研究所，江苏 南京 210042；2.中国科学院 天文光学技术重点实验室，江苏 南京 210042；3.中国科学院大学，北京 100049）

1 引言

为了获得极佳的像质，一般把望远镜安装到较高的空间进行观测。但是把望远镜安装到塔架上，动态风载、弹性地基和塔架的刚性不足使望远镜极易受外界干扰导致偏转和振动，甚至产生共振，严重影响成像质量。大型望远镜振动频率谱主要分布在低频区的（0～30）Hz之间[1]，如果塔架的振动频率非常接近望远镜的共振频率，对于望远镜的精确跟踪和成像质量是极其有害的。因此，在望远镜塔架的结构设计和改进设计阶段，必须进行有效的动态特性分析，而对望远镜塔架系统进行模态试验是分析其抗振性、稳定性及动力学优化设计的基础。经典的模态识别主要是依靠基于FFT的谐波频谱分析方法，通过功率谱中的峰值频率获得固有频率，但是这种方法比较难获得阻尼比，此外，FFT谱分析因为泄漏和栅栏效应会导致精度降低。为了更好辨识模态参数，目前多采用参数化的时域或频域模态辨识方法。时域模态辨识方法主要有Ibrahim法、特征系统实现算法（ERA）、LSCE算法。如Thite等应用AR和ARMA算法建立齿轮啮合振动信号的模型用于故障检测和诊断[2]。文献[3]使用LSCE和FDD算法提取振动筛的模态参数作为动力学修改的依据。文献[4]用LSCE算法对汽车排气管进行试验模态分析，得到其固有特性。在时域模态识别算法中，LSCE算法能直接得到结构的模态频率和模态阻尼，并能对数据进行同步分析后对结构做出整体估计，从而得到了广泛的应用。以三层望远镜塔架为受控对象，以脉冲冲击为激励信号，采用单点激励、多点拾振的方式，应用LSCE算法提取望远镜塔架的模态参数。并将试验结果与无参数化的试验模态分析结果进行对比，分析结果的准确性，同时分析塔架的薄弱模态对塔架系统的影响，为塔架的设计和制造提出相应的改进意见。

2 LSCE算法理论分析

设系统为N阶自由度的时不变系统，具有粘性阻尼，则由p点引起l点的频响函数表达式[5]：

式中：Arlp、sr—第 r阶模态留数和模态极点；*—共轭，对（1）式进行逆傅里叶变换求得脉冲响应函数为：

自回归系数即Prony多项式的系数，求解线性方程（5）可得到自回归系数的解αk，并代入（4）式可求得Prony多项式的根Vr，根据Vr可求得模态频率ωr和模态阻尼比ξr。

求解线性方程组（7）得到测试点的留数向量，对各个测试点均做上述识别，得到留数列阵Ar，对Ar进行归一化，便可得到振型系数列阵φr。LSCE算法中的Prony多项式使用AR模型，其难点就是如何确定AR模型的阶数。阶数少则有些模态无法识别，而阶数过高，则会出现虚假模态。稳态图（Stabilizationdiagram）作为鉴别虚假模态的方法之一，是基于物理特征随模型阶次增大保持稳定，而虚假特征则具有不确定性。可将真实物理极点与计算极点（包括数据处理和噪声引入的极点）区分开，具有广泛的适用性[6-7]。最小二乘复指数法流程图，如图1所示。

图1 最小二乘复指数法流程图Fig.1 Flow Chart of Least Square Complex Exponential Method

3 试验系统介绍

试验模态分析是通过在结构上人为施加激励，同时测量其响应，通过输入输出数据识别出系统的模态参数，目的是得到结构的模态频率、模态阻尼和振型，为结构系统的振动分析、结构优化设计提供依据[8]。望远镜塔架是一个三层钢框架结构，跨度450mm，一层、二层、三层高分别是0.57m、0.47m、0.47m。质量均为31.8kg。材料选用Q235A钢，其弹性模量为2.1E11Pa，泊松比为0.3，密度为7.85g/cm3。通过螺栓把塔架固定到地面上，以实际安装约束情况进行分析。试验系统结构图，如图2（a）所示。图中m、c、k分别是各层的质量、阻尼和刚度。在三层塔架上共安装了6个加速度传感器，#1～#6是加速度传感器的安装位置。数据采集系统中激励信号使用086D20压电型力锤，可以通过更换不同锤头激起不同的频谱范围，加速度传感器使用压电型单自由度（DOF，degree-of-freedom）393B04和393B05，采用UEI公司的AI-211卡进行多通道数据采集，采样频率为1024Hz，频率分辨率0.125Hz。加速度传感器和位移传感器的实际安装情况，如图 2（b）所示。

图2 试验系统图Fig.2 Diagram of Experimental System

塔架系统不同测试点的加速度响应曲线，如图3所示。敲击点不同，则各响应点振幅的趋势有所不同。6个加速度的频率响应曲线，如图4所示。从频率响应曲线可以看出，各测试点的频响函数具有很好的一致性。加速度功率谱累积分布函数，如图5所示。从中可以看出，加速度频谱的能量主要分布在（0～70）Hz内，并且在频率51Hz处的模态幅值大于其它模态处的幅值，因此该频率为塔架结构的薄弱模态，即塔架结构在该频率处受到激励时容易产生剧烈振动，所以在进行结构动态优化设计时应重点考虑[9-11]，此外，塔架的实测最低频率只有9Hz左右，处于风载和机电系统控制带宽内。因此，需要提高整个结构的刚度以提高低阶共振频率。

图3 不同测试点的加速度时程曲线Fig.3 Acceleration Time History Curves of Different Test Points

图4 #1～#6加速度频率响应曲线Fig.4 Acceleration Frequency Response Curve at Test Points 1～6

图5 加速度功率累积分布函数Fig.5 Cumulative Disturbance RMS of Acceleration

4 LSCE算法的辨识结果

为了确定LSCE算法的阶数，首先求得稳态图。LSCE法得到的稳态图，如图6所示。图中曲线为所有频响函数之和，左边纵坐标表示频响函数的幅值，右边纵坐标表示求解的数学模型的阶次，水平轴表示极点频率。只有稳定的注有“s”的频率才可确定是真实的模态频率。图中符号“o”表示从某阶数学模型开始出现极点，符号“v”表示只留数不变。基于LSCE法模态参数的辨识结果，如表1所示。可以看出，一阶和二阶两个模态的阻尼比较大，而三阶和四阶尤其是四阶模态的阻尼比小于0.5%，当阻尼小时会使振幅大、衰减慢、辐射噪声强度也大[3]。在该频率下，塔架结构在受到激励时容易产生剧烈振动，与无参数化试验模态的分析结果一致，此外，在振动抑制设计中，在此频率范围内增加阻尼可以显著降低总体的响应。

图6 LSCE法模态稳态图Fig.6 The Stabilization Diagram of LSCE

表1 LSCE算法识别的结构模态参数Tab.1 Structural Modal Parameters Identification Based on LSCE Algorithm

本研究主要关心低频段的模态参数。从稳态图可以看出，当模型迭代阶次分别为56阶、38阶时第二、三阶模态才被识别出来，说明为选择正确的模态阶数，LSCE算法需进行多次假定识别才能确定正确的模态阶数，计算量比较大。

为了验证LSCE算法的准确性，特把LSCE算法得到的模态频率和通过无参数化模态得到的模态频率进行了对比，具体的对比结果，如表2所示。从中可以看出，两种方法得到模态频率最大误差为4.4%，从而证实了LSCE算法的正确性。

表2 LSCE算法和无参数化试验模态分析的模态频率对比Tab.2 Modal Frequency Comparison Between LSCE Algorithm and Non-Parametric Modal Analysis

模态振型的结果可以通过模态置信判据（Modal Assurance Criterion，MAC）来评估。MAC值表征的是两个模态向量的相关程度，若MAC越接近1，则表明这两个模态向量近似同一模态。不同模态振型之间具有正交性，它们之间是非相关的所以MAC值近似为0。两个不同模态的MAC值可以由式（8）表示。

式中：r、s—各阶模态的阶次；｛φ｝—模态振型；*—共轭。

因而，同一模型中一组模态振型的MAC值组成了一个对角矩阵，对角元素近似为1，而非对角元素近似为0。LSCE算法估计的前4阶模态振型的MAC图，如图7所示。可以看出模态振型具有很好的正交性，且前四阶中相邻模态的MAC值均小于0.22，则振型相互独立，这说明在（0～70）Hz频带内至少有4个独立的模态。

图7 LSCE法前四阶MAC图Fig.7 The First Four Orders’MAC Diagram of LSCE

5 结论

（1）塔架对望远镜的像质影响很大，通过无参数化模态试验分析和基于LSCE算法的分析结果从两个方面分别获取了望远镜塔架系统的模态参数，对比了两种方法得到的结果，表明LSCE算法能够更好地识别模态参数，具有较好的适应性。（2）塔架的一阶频率为9.376Hz，处于风载影响的频率范围，因此需要增加塔架的刚度，提高一阶自振频率。根据加速度功率谱累积分布函数，脉冲激励下塔架的响应能量主要集中在51Hz这个频率处，该频率为塔架结构的薄弱模态，在进行结构动态优化和振动抑制时应重点考虑。（3）通过MAC表明前四阶模态振型间相互独立，证明在（0～70）Hz内至少有4个独立的模态。