建数学模型 促思维提升

李禄强

教学内容：人教版数学五年级上册第五单元第62～63页“方程的意义”。

教学目标：

1.借助生活情境理解方程的意义——用含有未知数的等式表示两件事情是等价的。

2.经历从生活情境到方程模型的建构过程，感受方程思想的核心之一，即建模。

3.培养学生观察、描述、分类、抽象、概括、应用等能力。

教学重点：准确地从生活情境中提炼方程模型，然后用含有未知数的等式来表达，理解方程的意义。

教学难点：理解方程的意义，即用数学符号表示两件事情是等价的。

教学过程：

一、复习旧知，引入新课

师：同学们，我们在前面学习了用字母表示数，接下来就让我们用这部分内容来解决下面的问题。请同学们拿出老师给大家准备的练习题，认真完成。（出示练习题。）

这个长方形的面积是 平方厘米。

师：哪位同学能来解决第一道题？

生：长方形的面积是50χ平方厘米。

一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了b千米，还剩95千米。甲乙两地相距 千米。

师：第二道题怎么解决呢？

生：甲乙两地相距（b+95）千米

他们每天一共投报 份。

师：第三道题呢？

生：他俩每天一共投报（a+b）份。

师：刚才的几位同学都汇报了他的答案，还有哪些同学的答案和他们是一致的，请举手！

师：同学们能熟练地用含有字母的式子表示某一个量，我们这节课就在用字母表示某一个量的基础上，继续来学习新的内容——方程的意义。

二、情境呈现，抽象模型

师：同学们，这节课我们要学习方程的意义，根据你的理解，你认为什么是方程？

生1：我觉得方程里边有字母。

师：你认为方程和字母有关。

生2：我觉得方程就是其中有一个未知数，等号两边都是等量。

师：你认为方程和等式有关。

生3：含有未知数的等式叫做方程。

師：你真是一个善于预习的孩子。

师：方程真的是同学们说的那样吗？今天就让我们从最简单的问题开始研究。

师：同学们请看大屏幕，哪位同学能先大声读题，然后解答？

（出示：校合唱队有男生12人，女生20人，校合唱队共有多少人？）

生：12+20=32。

师：为了方便我们接下来的研究，算式后的单位名称省略不写了。

师：12表示（生：男生人数），20表示（生：女生人数），32表示（生：总人数）。

师：那等号的左右两边表示的是一回事吗？（生：是。）这么看来这个算式是根据：男生的人数+女生的人数=总人数。像这样的数量间的相等关系，被称为等量关系（板书：等量关系）。

师：当已知条件发生变化时，这个问题又应该怎样解答呢？你能用我们之前学过的知识解答这个问题吗？

（出示：校合唱队有男生12人，女生a人。校合唱队共有32人。女生有多少人呢？）

生：32-12=20。

师：你说得真好。如果条件又发生了变化，你们还能解决吗？

（出示：校合唱队有男生b人，女生20人。校合唱队共有32人，男生有多少人呢？）

生：32-20=12。

师：刚才，我们用3个不同的等量关系写出了3个不同的算式。同学们注意了，老师现在要提高要求，你能不能用加法算式来表示这两道题呢？

生：12+a=32。

师：这里的a表示什么？

生：a表示女生的人数。

师：a在这里是一个未知数。这么看来，字母也可以像数一样参与到运算当中。第二个算式应该怎么写呢？

生：b+20=32。

师：这里b又表示什么？

生：b表示男生的人数。

师：观察这3个算式，它们有什么共同的地方？

生1：总人数都一样。

生2：它们的等量关系都是一样的。

师：他们的左边都是男生人数加女生人数，右边都是表示总人数。所以，可以用等号连接。像这样用等号连接的算式，在数学中被称为等式。（圈出所有等号，在等号下出示等式。）

师：刚才我们从文字中找到了等量关系，并根据同一个等量关系列出了3个等式。其实在我们实际生活中的很多方面，也都存在着这样的等量关系。（出示天平。）

师：大家看，这是一个天平，现在的天平处于一个平衡的状态，同学们想一下，天平在什么情况下才能平衡呢？

生：左右两边的重量相等的时候。

师：当天平的左边重量（师晃动左手）和天平右边的重量（师晃动右手），相等的时候（师晃动双手），天平就会平衡。

师：请同学们认真观察天平接下来发生的变化，你能用一个等式来表示天平现在的状态吗？

生：50+50=100 。

师：同学们注意看，接下来天平将再次发生变化，你还能用等式来表示天平的状态吗？

生：100+χ=250。

师：这个等式的左边表示什么？右边呢？

生：等式的左边表示杯子的重量+水的重量，右边表示它们的总重量。

师：所以水杯的重量+水的重量=砝码的重量。

师：我们能从天平中找到等量关系，并根据等量关系列出等式，现在请同学们看这个实物图，根据实物图你能列出怎样的等式呢？（出示情境图。）

生： 3χ=2.4。

师：在这个等式中，等式左边表示什么？右边又表示什么？

生：等式左边表示3本书一共多少钱，右边也表示3本书的总钱数。

师：所以它们也是相等的。

师：在这个情境图中，大括号在这里相当于等式中的什么？（生：等号。）

师：我们在实物图中同样找到了等量关系，那在线段图中呢？

生： χ+73=166。

师：在这个图示中，什么相当于等号呢？（生：下边的大括号。）

三、引导分类，构建概念

师：我们刚才从文字、天平、实物图和线段图中找到等量关系，并根据等量关系分别列出了这7个等式。

师：在这7个等式中，有几个就是我们今天要认识的方程，你能把它们找出来吗？

等式

（1）12+20=32

（2）12+a=32

（3）b+20=32

（4）50+50=100

（5）100+χ=250

（6）3χ=2.4

（7）χ+73=166

生：第2、3、5、6、7个等式是方程。

师：大家和他找得一样吗？你们和老师想的也都是一样的，它们确实都是方程，那你们认为什么是方程呢？

生1：因为这5个等式中都有未知数。

生2：这5个算式两边都相等。

师：是的，像这样含有未知数的等式，叫做方程。

师：作为一个方程，它必须要含有未知数，而且还要是等式。如果用韦恩图来表示方程和等式之间的关系的话，大的这个集合表示等式，小的这个集合就表示方程。从这个韦恩图中，我们可以清楚地看到方程一定是等式，而等式不一定是方程。

四、出示练习，巩固新知

师：我们现在知道了什么是方程，接下来我们来判断一下，下边哪些式子是方程。（出示练习题。）

1.下边哪些式子是方程？

①33+47=80 ②x+15>72

③6（y+2）=42 ④3m+32=47

⑤21<17+10 ⑥6x+2y=42

师：请同学们把自己认为是方程的等式找出来，跟你的同桌互相交流一下，为什么你认为它是方程。（同桌交流。）

师：哪位同学来汇报一下你找的结果？

生：我认为第3个、第4个、第6个是方程，因为它们都是等式，还含有未知数。

师：同学们请看第2个等式，它为什么不是方程？

生：因为它不是等式。

师：它确实不是一个等式，而是一个不等式。

师：我们能准确地判断一个等式是不是方程，那能不能写出几个方程呢？哪位同学愿意到黑板上写一个方程？写完的同学，同桌之间互相检查。

师：大家看他们写的是不是方程？（生：是。）为什么是方程？（生：它们都是含有未知数的等式。）

师：从同学们写出的方程我们可以看出来，方程可以有这么多的形式。看来同学们对于方程有了一定的了解，让我们一起回到课前用字母表示数的3道题，首先看第一题，老师补充了一个条件，你能不能根据等量关系列出方程？（课件呈现：这个长方形的面积是3500平方厘米。）

这个长方形的面积是3500平方厘米。

生1：50x=3500。

生2：等量关系：长×宽=长方形的面积。

师：同学们请看第二道题，你也能根据等量关系列出方程吗？（课件呈现：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了b千米，还剩95千米。甲乙两地相距260千米。）

生：b+95=260，根据等量关系：已经行驶的路程+还剩的路程=总路程。

师：只要我们有足够的已知条件，能找到等量关系，就能列出方程。同学们请注意，第三道题有变化了。请同学们自己补充一个条件，列出方程。（课件呈现。）

自己补充一个条件，列出方程。

生：王叔叔和李阿姨一天一共投报80份。列出的方程是a+b=80。

师：我们先来看他列的这个方程，他列的是不是一个方程？（生：是。）但是同学们，你们感觉他补充的这个条件怎么样啊？

生：每天投报80份有点太少了。

師：你的意思就是不符合我们的生活实际。那你能帮他改一个更大的数吗？

生：他们每天一共投报200份。

师：那根据这个条件，应该怎么列方程呢？

生： a+b=200。

师：其他同学还补充了不同的条件吗？

师：同学们请看老师写出的这个方程，你知道这个方程表示的意义吗？[7（a+b）=1400]。

生：他们7天一共投报1400份。

师：那你还能像老师这样补充条件再列出一个方程吗？

生：我补充的条件是31天一共投报6200份，我列出的方程是：31（a+b）=6200。

师：你真是个善于思考的孩子。

五、总结

师：现在请同学们坐好。今天我们初步学习了有关方程的知识，同学们回忆一下：

1.什么是方程？

2.方程是根据什么来的？

生1：方程是通过等量关系得来的。

生2：方程是把未知数带入到等量关系中。

师：所以说，无论这个方程是简单还是复杂，它的背后一定隐藏着一个等量关系。

师：同学们，你们知道吗？方程也有着悠久的历史。请看视频。（出示视频。）正是由于笛卡尔确定了方程的基本形式，所以才有了我们现代的方程，而我们今天学习的方程只是最简易的方程，在以后的学习中我们还会学到更复杂的方程。（课件出示。）

这是我们以后会学到的一元二次方程：

x2+2x+1=4

这是二元一次方程组：

2x+3y=23x-2y=1

这是二元二次方程组：

x2+y2=54x2-2y=10

而这个就是数学界最伟大的发明——欧拉公式

欧拉公式eпi+1=0是数学里最令人着迷的一个方程，被数学家们评为“上帝创造的方程”。

由此可见方程的伟大之处。

其实方程还有许许多多的奥秘等待着我们去探索，有兴趣的同学可以在课后自己去搜集一些有关方程的资料。这节课我们就上到这里。下课！

反思：

本节课是建立在学生能够用字母表示数的基础上进行教学的。“方程的意义”教学无论是教材还是以往教学实践，无一例外都是借助天平进行导入。授课教师根据天平进行演示，先呈现一组等式（方程）、不等式，再引导学生分类，进而揭示方程的概念，这几乎成了“方程的意义”一课教学的不二选择。就个人教学经验而言，常规的天平导入法虽有利于学生对“方程的意义”这节课的知识掌握，但也同样给课堂教学带来了挑战与困惑——学生无法准确迅速地找出数量间的相等关系。笔者认为出现这种情况一方面与初次教学“方程的意义”时，学生对方程概念的理解出现偏误有关；另一方面也与课堂上学生对于天平的过分关注有关。天平可以帮助学生理解“方程表示数量间的相等关系”，但是通过天平揭示的只是一种特殊的等量关系，即天平两端所置物品的质量相等，而“方程表示数量间的相等关系”的涵义要丰富得多。

带着这样的思考，笔者请教了多位教研员和有经验的教师，同时也查阅相关资料，对“方程的意义”也有了一个较为明晰的认识。笔者认为，应将“方程的意义”这节课的教学重点着眼于“知道方程式表示数量间的关系”上，而不是单纯地强调“含有未知数的等式叫做方程”这个形式化的定义。

从学者的视角出发，多位专家、学者也对“方程的定义”有着不同的认知和理解。张奠宙教授认为：“这个定义其实并不重要，那只是方程式的一个外观描述，没有体现方程的本质。” 史宁中教授也曾提到：“虽然教科书中定义为含有未知量的等式，但应当知道方程的本质是在讲两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。” 也就是说，从史教授等人的观点出发去判断一个算式是不是方程，意义不大。关键是要知道方程是怎么回事，是做什么用的。方程是一种思想，是把未知量视为与已知数具有同等性质且可参与运算的量，利用等量关系构造方程，求出问题的解。

因此，在进行本节课的教学时，笔者改变传统教学中将天平作为主要媒介的惯用做法，没有单纯地让学生根据天平的状态列出算式，继而进行分类、归纳，最终简单地得出方程的概念。而是从复习“用字母表示数”引入新课。让学生说一说“你认为什么是方程”，调动学生已有的知识储备，激发学生对方程的朴素认识。接下来，笔者出示三道最简单的练习题，学生将加法算式改写成含有字母的加法算式，使学生经历从算数方法到方程的思维的转变，让学生认识到，未知数也可以像已知数一样参与到运算。这时学生在头脑中已经初步建立方程的思维。然后学生观察天平、实物图、线段图等，利用几何直观找到等量关系，列出方程，使他们的思维从熟悉的、简单的等量关系中，过渡到方程的产生过程，进一步认识方程所表示的数量间的相等关系，即等量关系是组成方程的必要条件。在这个过程中，笔者并没有根据教材出示不等式，而是讓学生在等式的基础上找到方程，其目的是避免学生对方程的概念产生偏误。然后，通过找出下面哪些算式是方程的练习中出示不等式，再次重点强调方程必须是等式这一概念。这样更有利于学生理解方程，加深学生对方程概念的认识。在课堂教学中，笔者设计了一个让学生自己写方程的练习环节。在此环节中，笔者还特意将比较有个性的方程进行展示，让学生认识到方程的多样性。最后阶段的练习重新回到课前的3道练习题中，有梯度地引导学生根据已知条件列出方程，进一步加深学生对方程的理解。其具体做法是：第一步，让学生自己补充一个已知条件，然后列方程练习；第二步，给出一个方程，让学生说明这个方程表示什么意义；第三步，精准的练习与巩固，其目的是反复强化“每个方程背后都一定有一个等量关系”这一观念，使学生能充分理解方程的意义。

在本节课的最后，为了激发学生的学习热情，引发学生新的思考，笔者采用视频播放的形式向学生介绍了方程的发展过程，并简单介绍了在后续学习中还会学习到不同类型的方程，尤其是欧拉公式的出现，让学生眼前一亮，激发了学生对方程探究的兴趣，有利于将数学知识的学习由课内引向课外。

（作者单位：哈尔滨市泰山小学）

编辑/魏继军