含真空贡献的3种味道的QM模型的手征相变*

鲁海鹏，刘 敏

(华北电力大学数理学院,北京 102206)

量子色动力学(QCD)是目前被大众接受关于强相互作用的基础理论，是夸克和胶子的动力学.不同于标准模型中的其他理论，QCD在低能下展现独特的非微扰特性，所以QCD理论无法用严格的微扰论处理.一种可以代替QCD的格点QCD计算方法能够在QCD相图结构中获得更多的经验，但因其在有限化学势下会出现著名的符号问题，故无法计算出QCD中的可靠结果，更严重的问题是，不同格点方法之间是相互冲突的[1].鉴于格点QCD的局限性，低能有效模型获得了发展，它与QCD有相似的对称性，可再现QCD的一些特征和性质，其中应用最广泛的是NJL模型[2]和夸克-介子(QM)模型[3-4].目前，在平均场近似下，直接将夸克真空贡献略去的办法是可行的，但标准的平均场近似(SMFA)带来了不一致的结果预测，例如在手征极限下和零化学势处，QM模型一直保持一级手征相变，这与期望的结果矛盾[5-6].一旦考虑夸克的真空贡献[7-8]，这一问题就会消失，因此明确如何处理狄拉克海(真空贡献)十分关键，而本研究主要就是考虑真空贡献所带来的影响.笔者将在详细分析QM模型的 “拉氏量”的基础上，利用拉氏量得到系统的热力学势，再对热力学势中的发散的真空贡献进行正规化；通过已知的真空介子质量来确定参数后，用仿真实验来验证该研究方法的可行性.

1 3种味道的QM模型

Lm= Tr(∂μφ†∂μφ)-m2Tr(φ†φ)-λ1(Tr(φ†φ))2-λ2Tr(φ†φ)2+

c(det (φ)+det (φ†))+Tr(H(φ+φ†))，

(1)

其中：Ψ=(u,d,s)表示味道自由度Nf=3和色自由度Nc=3时的夸克场；φ场由标量场σα和赝标量场πα构成的介子场来定义，即φ=Tαφα=Tα(σα+iπα).

Tr(TaTb)=δab/2，[Ta,Tb]=ifabcTc，{Ta,Tb}=dabcTc.

(2)

(3)

这时奇异夸克和轻夸克凝聚相互独立[10].化简(2)式，可得

由(2)和(3)式可得

(4)

(5)

由此可知，与奇异夸克和凝聚之间的关系类似，轻夸克质量和凝聚也为线性关系，但是系数不同.

2 热力学势

求热力学势的方法与2种味道的情况类似[11-12]，在热平衡下通过路径积分得到配分函数

(6)

(7)

由(7)式可以看出，介子部分贡献比较简单，而夸克-反夸克部分的贡献涉及较复杂的积分.与2种味道的模型类似，积分的处理方法要用到费米子的Matsubara频率求和方法[13]，最终的夸克-反夸克部分的贡献

(8)

(9)

为了保证热力学势取得最小值，对热力学势关于σl和σs进行微分并令等式为0，即

(10)

3 正规化

(11)

(12)

4 参数确定

(13)

给出.其中：i=s,p;φs,a=σa；φp,a=πa;φs,b=σb；φp,b=πb.

(14)

将(12)式代入(14)式的第1项，可得

(15)

(16)

其中：

将λ2代入(16)式，可得

(17)

hl和hs通过平衡性条件(10)来确定，整理后得到

(18)

由(18)式可知hl，hs与c一样也为常数，但λ2和λ1会受截断参数影响，而且λ1还会影响m2.g可由轻夸克的组分质量ml=300 MeV(即(4)式)来确定，

(19)

实验中的已知量:衰变常数，fπ=92.4 MeV,fK=113 MeV；真空中的介子质量，mπ=138 MeV，mK=496 MeV，mη′=963 MeV，mη=539 MeV，但σ介子的质量mσ是不确定的，其取值范围为400～900 MeV.表1给出了各模型参数随mσ的变化情况，但g与mσ无关.

表1截断参数Λ=600MeV时，与mσ对应的各模型参数的取值

Table1DifferentParameterSetsforVariousmσwithΛ=600MeV

mσ/MeVc/MeVλ1m2/(MeV)2λ2h1/(MeV)3hs/(MeV)34004 807.5-7.45786.24227.54120.733336.4135004 807.5-4.43751.96227.54120.733336.4136004 807.5-0.62706.34227.54120.733336.4137004 807.54.17644.41227.54120.733336.4138004 807.510.30555.18227.54120.733336.4139004 807.519.00395.35227.54120.733336.413

5 手征相变

确定7个模型参数以后，对热力学势进行数值计算，并对热力学势做变分求凝聚，手征对称性恢复是在有限的温度和化学势下进行的，并考虑明显手征对称性的异常破缺(c≠0).自始至终c都保持为常数，虽然真实的c会随温度和化学势发生变化，但这里忽略这些变化.

5.1 夸克凝聚

图1 零化学势不同截断参数下轻夸克凝聚和 奇异夸克凝聚随温度的变化Fig. 1 Changes of Light Quark and Strange Quark Condensates with Function of Temperature for Zero Chemical Potential and Different Truncation Parameters

手征相变的相图结构完全由系统的整体热力学势来决定，(10)式的解是2个凝聚关于温度和化学势的函数.3种味道情况下，化学势通常是各自独立的，但是这里笔者考虑对称夸克物质，也就是具有统一的化学势，即μ=μl=μs的物质，之后直接用μ来表示每种味道的化学势，下标x表示轻夸克，下标y表示奇异夸克.

5.2 相图

图3 mσ=800 MeV时，有/无真空贡献时的相图Fig. 3 Phase Diagram with Without Vacuum Contribution for Value of mσ=800 Mev

由真空π和K介子的质量确定参数，进而得到凝聚.轻夸克凝聚随温度T或者化学势μ溶解的速度比奇异夸克凝聚的溶解速度要快，笔者用轻夸克凝聚的转折点作为手征相变的分界线，然后以轻夸克凝聚的拐点所对应的温度和化学势来作相图，并选取一个确定的mσ值来分析无真空贡献对相变的影响.

6 结语

研究了有限温度和化学势下的手征对称性恢复.利用具有SU(3)L×SU(3)R对称性的夸克介子模型实现真空中手征对称性自发破缺，产生手征破缺相.热力学势中不含真空贡献时，在零化学势对应的有限温度处，手征对称性从破缺相过渡为恢复相；而在零温度所对应的有限化学势处，轻夸克凝聚出现了突变，手征对称性从破缺相跃变为恢复相.对于mσ相同且有真空贡献的情况，也会出现类似的结论，只是对应的有限温度和有限化学势都比无真空贡献时大一些.