提升思维品质 凸显数学本质

☉江苏省灌云县第一中学 吴中双

数学教师在课堂这一主阵地中应积极引导学生将注意力全部集中在课堂活动中，使学生以最大的热情与主动性展开知识的探索并因此获得最大限度的思维活动.高三数学教师更是应该不断思考怎样才能触及学生的情绪与意志领域这一重要问题，着眼于数学本质的凸显并因此打造出高效优质的数学课堂.笔者以为这一目标的实现可以从以下两个方面着手.

一、一题多解

例1 已知正方形ABCD的边长是2，AB的中点是E，以点A为圆心、AE为半径作弧与AD相交于点F.若点P是劣弧EF上的动点，则P■→C·P■→D的最小值是______.

此题难度中等偏上，考查的知识核心是平面向量的数量积.解决此类题目一般有两种思路.思路一，建立平面直角坐标系并将平面几何问题代数化，比如以下即将介绍的解法1、2、3遵循的就是这一思路；思路二，选取基本已知向量来表示题中所要求的向量，学生往往会在怎样选取已知向量上感觉困难，教师应在长度或角度这两个方面引导学生进行已知向量的选取，解法4遵循的正是这一思路.

解法1：如图1，建立平面直角坐标系，则C（2，2），D（0，2），圆弧EF的方程为x2+y2=1（0≤x≤1）.

设点P的坐标为（x，y），则

图1

因为（x-1）2+（y-2）2表示圆弧EF上的动点P（x，y）到点（1，2）的距离的平方，因此（x-1）2+（y-2）2的最小值等于（的最小值为5-2.

解法2：如图1，建立平面直角坐标系，则C（2，2），D（0，2），圆弧EF的方程为x2+y2=1（0≤x≤1）.

设点P的坐标为（x，y），则

因为点P在圆弧EF上，因此x2+y2=1.

解法3：如图1，建立平面直角坐标系，则C（2，2），D（0，2），圆弧EF的方程为x2+y2=1（0≤x≤1）.

设点P的坐标为（cosθ，sinθ），则

图2

二、多题一解

此题一般会作为填空题的压轴题出现，难度较大，学生的得分情况往往也不容乐观.利用不等式解决二元最值问题是此题最核心的内容，常值代换、转化与化归是解决此类题目最为常用的方法.事实上，这是教材中一个习题的变式.

这是基本不等式这一章节内容中比较典型的一个习题，此题的解法较多，常值代换是其中最为简单的一个解决方法，具体过程如下：

变式1将原型题中的常数1改成了3，因此，解题时构造出系数即可解题，具体过程如下：

变式2（改变模式）：已知正数x，y满足x+y=xy，则x+2y的最小值为______.

变式2中的此类问题一般可以借助基本不等式利用常值代换来解决，两个和式且其中一个为分式的形式是此类题型的基本模式.因此，将已知条件的整式两边同除以xy即可变成我们所说的基本模型，具体过程如下：

变式3对于学生来讲有一定难度，难点主要表现在以下两处：难点之一是减元化简到，这一步骤时会产生两种想法：一种想法是运用通分转化为分式函数，这种解法相对复杂；另一种想法是通过常数分离到难点之二是学生发现不了代数式+1中两个分母之间的常数关系：（4b-1）+4（1-b）=3.具体解题如下：

所以m＞0，n＞0，且m+n=3，

变式4（改变等号）：已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y≤2，则的最小值是______.

变式4将已知条件中的等号改成了不等号并对结构进行了新得构造，这是在变式3的基础上进行的拓展与延伸，这对于基础知识与能力比较薄弱的学生来说是一种挑战.具体解题如下：

三、教学反思

将高三数学教学视为某种程度上的解题教学是一点不为过的，不过，教师如果在教学中仅仅局限于就题讲题那就有失偏颇了，教师不能满足于题目得解而止步不前，而应该重视“一题多解”“多题一解”并引领学生摆脱茫茫题海，使学生在多角度、深层次的思考中开拓思路并获得思维的拓展与发散，学生在兴趣倍增的思考与探索中往往会令自身的思维品质更上一个台阶.因此，教师应重视“一题多解”“多题一解”这一重要的教学方式并引导学生展开多角度、多层次的思考，激活学生思维的发散性与创造性并引导学生进行逐层深入的思索，使学生能够在知识交汇处迅速突破并获得正确的解题思路.

不仅如此，教师在高三数学复习教学中还应该始终不忘回归课本，对近年来的高考试题、模拟试题进行观察与分析，我们不难发现很多试题都能从课本中找到原型.因此，教师在实际教学中应不忘课本典型例题与习题的研究并引导学生进行一题多解、一题多变、多题一解，使学生能够在典型问题的探究中追根溯源并学会多角度、多层次的思考，使学生的思维不断走向多维并因此不断提升其思维的品质.W