基于灰色GM（1，1）—马尔科夫模型的深圳市生产总值的预测

刘宇翔　乔美英

摘要：城市经济对一个国家和地区的发展起着龙头引领作用，生产总值则是衡量经济实力的一个重要标准。通过对一个城市生产总值的精确预测，可以为城市未来提供经济决策服务。文章以灰色理论GM（1，1）模型为基础，有效地结合马尔科夫模型的预测优点，对深圳市2006～2016生产总值进行了预测研究。依据相对残差、平均相对误差和归一化误差这三个评价指标，表明灰色马尔科夫模型预测的结果可以与原始序列很好的拟合，预测精度较高，预测结果可靠，能够为深圳市未来的经济决策提供参考依据。

关键词：经济；生产总值；预测；灰色GM（1，1）；马尔科夫模型

改革开放以来的四十年间，深圳从一个3万人的边陲小镇快速崛起为现代化的大都市，创造了世界工业化、城市化发展史上的奇迹。如今的深圳，拥有430多万人口，综合经济实力已跻身全国大中城市前列，人均GDP和人均可支配收入跃居首位，已初步成为一个经济繁荣、法制健全、环境优美、生态优良、文明和谐的现代化城市。生产总值虽不能很精准、全面地表明一个地区的经济综合实力，但它毕竟是衡量经济实力的一个重要的参考指标。因此，以历史经济数据为基础，从实际出发，对深圳市生产总值进行预测，可以深化对经济活动内在规律的认识，为未来的经济决策服务。

目前，已有200多种预测方法被提出，有些方法在不同的领域里得到了广泛的应用，例如，对城市的生产总值预测，可以使用灰色GM（1，1）模型或马尔科夫模型等。自从邓聚龙教授提出灰色系统理论以来，已被广泛运用到各个领域中，且带来了很满意的效果。达瓦利用灰色模型对西藏农村未来人均消费支出进行预测，并运用灰色关联分析的方法，系统地分析了影响消费支出的主要因素。周健等利用灰色GM（1，1）模型对兰州市的生态安全评价指数进行预警分析。赵卓峰等对原始GM（1，1）模型进行残差修正，得到了修正GM（1，1）模型，

并用于车流量预测中，结果表明改进后的模型的预测精度有了明显的提高。资料表明：不管使用GM（1，1）模型还是改进的GM（1，1）模型，其都是根据已有的数据对未知的数据进行的预测，基本属于单一灰色预测范围。而灰色理论模型主要适用于时间短、数据少、波动小等类别的预测与预报问题，当数据波动性较大，且需要中长期预测时，其拟合效果较差，预测的精度相对较低。马尔科夫链预测模型的所研究的对象是一个随机变化的动态系统，主要依据研究系统对象的不同状态之间的转移概率来预测或预报系统未来的发展变化，以及反映各随机因素的影响程度的大小。马尔科夫链预测模型的优势在于对各随机序列与具有波动性较大数据序列的预测与预报效果较好，这一优点正好弥补了灰色理论预测的局限。1992年，何勇提出灰色马尔科夫模型，而灰色马尔科夫预测模型综合了灰色模型的分析数据少、精度高、可反映系统长期发展趋势以及马尔科夫模型可较好地处理随机波动性较大的动态过程的优点，其被广泛应用于航空、瓦斯流量预测、交通等方面。利用单一的灰色GM（1，1）或者马尔科夫预测模型，来研究或者分析城市生产总值，具有一定的局限性，对数据要求较高，且预测精度较低，因此，笔者将灰色理论中GM（1，1）模型与马尔科夫模型进行结合，首先采用灰色GM（1，1）模型方法，利用原始数据进行预测，在预测值的基础上，再使用马尔科夫模型，进而继续预测。经过二次预测，就能够在一定程度上减小某些突变数据对预测模型的影响。实例表明，将灰色GM（1，1）-马尔科夫模型用于深圳市本地生产总值的预测，具有较高的预测精度，可靠性较好。

一、灰色系统GM（1，1）模型的建立

（一）原始数据的处理

原始时间序列具有一定的随机性，为弱化此特点，增加其平稳性，要先对原始序列进行预处理。此处用级比检验的方法。

1. 设原始时间序列为

X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}（1）

2. 计算级比M（K）

M（K）= （2）

3. 对级比进行判断。对绝多数的M（K），若有M（K）∈（e ，e ），（K=2，3，……，n），则可以使用X（0）作为满意的GM（1，1）模型的原始数据序列。否则，需要对原始数据进行预处理，其中主要方法有数据开方、取对数和平滑处理。

（二）模型的建立与求解

对原始时间序列做一次累加，

X（1）={x（1）（1），x（1）（2），x（1）（n）}，其中

X（1）（K）= x（0）（i）（3）

（K=1，2，3，……，n）。

GM（1，1）模型的白化微分方程可表示为：

+ax =u（4）

其中，a称为发展系数；u为灰作用量。

将公式（4）进行离散处理，可得

x（0）（k+1）=a[- （x（1）（k）+x（1）（k+1））]+u（5）

改写为矩阵形式为：x （2）x （3） ┆x （4）=- （x （1）+x （2）） 1- （x （2）+x （3）） 1 ┆ ┆- （x （n-1）+x （n）） 1au，

即Y=B[a u]T。模型参数a，u可运用最小二乘法求取，即（a，u）T=（BTB）-1BTY，将求取的参数带入时间响应序列，求出其离散解如公式（6）所示

X^（1）（K+1）=（X（0）（1）- ）e + （6）

再经过累减计算，还原到原始数据的估计值X^（0）（K+1）=（1-e ）[X（0）（1）- ]e （7）

二、灰色系统GM（1，1）-马尔科夫模型

马尔科夫链是一个随机的过程，它的系统未来状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关，具有无后效性的良好特点，其这一特点就可以避免当数据出现非时效性时，给预测模型预测精度上带来的影响。马尔科夫预测作为一種预测随机过程的变化规律的技术，是利用其中一种变量的现状和变动趋势来预测该变量的未来状态与变动趋势的技术。具体步骤如下：

1. 状态区间Ω的划分。如果划分的状态较少时，则可采取相对保守的预测原则，取灰元区间临界值的较低值作为预测值。对于一个n阶的马尔科夫不平稳的随机序列，一般以其相对变化率来划分状态，划分为3～5个状态最好。

2. 计算状态转移的概率矩阵。假设一个事件有n个状态随机过程，把它们分别记为E1，E2，E3，…，En，记pij为从状态i转移到状态j的转移概率（其中i，j=1，2，3，…，n），则可计算出：pij=p{y（k+1）=j|y（k）=i }。当状态Ei只和状态Ej有关，而与n无关时，可称矩阵P=（pij）为转移矩阵如下表示：

P=pij=p p … p p p … p … … … …p p … p ，

其中，pij≥0且矩阵P中每一行元素之和应等于1。

设系统由状态Ei经K步转移到状态Ej的次数为Mij（k），状态Ei出现的次数为Mi（k），

则可得出状态转移概率矩阵

P = （8）

3. 确定灰色GM（1，1）模型的预测值的相对值所在的状态区间，将其平均值代替灰色区间作为模型的预测值

X^（t）=0.5（Ωi1+Ωi2）·X（t）（9）

式中Ωi1、Ωi2分别为第i种状态区间范围的左右边界值，i=1，2，3

三、模型的误差检验

1. 残差序列

δ（k）=X（0）（K）-X^（0）（K），（K=1，2，…，n）（10）

2. 相对误差序列

Δ（k）= （11）

3. 平均相对误差序列

p= Δ（k）（12）

4. 归一化误差

s（k）= [ δ2（k）] （13）

式中，α为数据的标准差，Nt为样本总数。

四、深圳市本地生产总值预测的实例分析

根據深圳统计网中的深圳国民经济和社会发展统计公报，本文采用深圳市2006～2016年本地生产总值（单位：亿元）数据作为原始时间序列数据，原始序列为X（t）=（5813，6801，7786，8201，9510，11515，

12971，14572，16001，17502，19492）。

（一）灰色GM（1，1）模型的预测

根据以上灰色GM（1，1）模型，计算出模型参数a和u分别为-0.11643和59040，并将其带入公式（6），得到离散解为：X^（1）（K+1）=56521e0.11643k-50708，还原到原始数据的估计值为： （0）（K+1）=6212.0874e0.11643k，这样就可以得到2006～2016年的本地生产总值的预测值，以及相对值和误差，如表1所示。

（二）马尔科夫预测模型

1. 状态区间的划分

根据表1中的相对值，对深圳市本地生产总值情况进行状态划分，划分为3种状态，其状态划分如表2所示。

2. 建立状态转移概率矩阵

根据表1中本地生产总值情况的预测，以及状态区间的划分，可以确定状态出现的次数和状态转移概率矩阵。根据公式（8）可计算出3步状态转移概率矩阵：

p（1）=0.5 0 0.50.25 0.75 00 0.25 0.25，

p（2）=0.2500 0.1250 0.62500.3125 0.5625 0.12500.0625 0.3750 0.5625，

p（3）=0.1563 0.2500 0.59380.2969 0.4532 0.25000.1250 0.4219 0.4531

3. 生产总值的预测

选取2014、2015、2016年生产总值数据，根据时间先后，分别确定转移步数为1、2、3，并确定出其对应的状态转移概率矩阵。对新的状态转移概率矩阵的列分别求和，算出最大的那一列，将其所在列的状态作为2017年生产总值所在的状态，如下表3所示。

由表3可以看出，状态E3所处的概率最大为1.21875，因此可以确定2017年生产总值所在状态为E3。由公式（7）可以计算出灰色GM（1，1）模型预测的2017年生产总值，再根据公式（9）就可以计算出最终的预测值为22816亿元。

（三）两模型的预测值与实际值的对比分析

灰色GM（1，1）与灰色GM（1，1）—马尔科夫模型预测的生产总值对比分析如表4和图1所示。从表4可以看出，灰色马尔科夫模型预测的相对误差明显小于灰色GM（1，1）模型，灰色GM（1，1）模型预测的平均相对误差为2.76%，灰色马尔科夫模型预测的平均相对误差为1.17%。另外，根据公式（13），计算出灰色马尔科夫模型的归一化误差为0.0306，相比于灰色GM（1，1）模型减少了0.05。

同时，从上图1可以看出，原始数据与预测数据都呈现出一条平滑的上升曲线，体现了生产总值长期增长的良好趋势，而灰色马尔科夫预测模型能够更好的拟合原始数据列，其预测值更接近实际值，可靠性更高，从而可以更好对深圳市本地生产总值预测。

五、结论

1. 本文将经典的GM（1，1）模型与马尔科夫模型进行结合，充分利用了两个模型的优点，不仅解决了数据非稳定、波动性与随机性较大的问题，而且经过仿真实验表明，相比于灰色模型，灰色GM（1，1）-马尔科夫模型的平均相对误差减小了1.59%，归一化误差减小了0.5，说明灰色GM（1，1）-马尔科夫模型预测的精度比单一使用灰色模型预测的精度要高很多，其预测值更加接近实际值，因此，可为城市生产总值的预测提供参考。

2. 从预测结果可以看出，深圳市的生产总值在逐年增加，保持了经济稳中有进、逐步向好的发展态势，这为将来经济发展奠定了良好的基础。

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（作者单位：刘宇翔，河南理工大学电气学院；乔美英，河南理工大学电气学院、煤炭安全生产河南省协同创新中心）