以不变应万变——谈网格中求锐角三角函数值的基本策略

江苏省海门市实验学校初中部 季红妹

正方形方格中求锐角三角函数值问题是近几年中考出现频率较高的题型，纵观其呈现方式，一是锐角顶点在格点，二是锐角顶点不在格点（小正方形的顶点称为格点）。结合2018年各地中考题，就解决策略与大家分享。

一、解法探究

（一）角的顶点在格点

1.直接求

（1）（2018·德州）如图1，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是____。

图1

∵AB2=BC2+AC2；

∴△ACB为直角三角形；

2.构造求

图2

（2）（2018·贵阳）如图2，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为________。

解法1：连接BC，则可证△ABC为直角三角形，

∴tan∠BAC=1。

图3

解法2：如图3，∵CH∥AF，

（二）角的顶点不在格点

1.移顶点至格点

图4

（1）（2018·眉山）如图4，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=_________。

图5

解析：如图5，过点B作BH∥CD，连接AH，

则∠AOD=∠ABH，

过点A作AE⊥BH，

∴tan∠=

2.顶点不移巧构造

图6

解析：如图6，连接BE，

∵四边形BCEK是正方形，

∴KF=BF=CF=EF，

∴AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，

∴KO∶CO=BK∶AC=1∶4，

∴KO∶KF=2∶5，∴OF∶KF=3∶5，

二、解后回顾

1.关注通性通法

张景中先生认为“一种方法解很多题，要好过很多方法解一道题”。这种方法即通性通法，因此平时的教学过程中，问题解决中通性通法的归纳，对于学生解题方法的迁移可得到有效提升，对于学生解题经验可得到逐步完善。我们知道，求某个锐角的三角函数值，通常是把锐角置于某直角三角形中，因此如何构造直角是关键。一是顶点在格点时，借助相邻小正方形的对角线互相垂直；二是顶点不在格点时，通过平移顶点至格点，形成角的转化，再构造出格点直角三角形。由解直角三角形，我们联想到解斜三角形的基本策略，即通过作垂直，形成双直角三角形。因此对于以上问题，我们也可直接构造出一个斜三角形，通过相似与勾股定理求出三角形三边长，同样也可达到解决问题的目的，此法，对于无法构造出直角时，是一种不错的选择。

2.自主变式思考

基于解法的思考下，我们也可自主尝试编写一系列同类问题，落脚点：一是两线段的位置变化；二是网格增加，改变线段的长度；三是角的呈现方式改变。通过变式思考，可以更好地掌握此类问题的本质，即解直角三角形或斜三角形，在方法选择上也可融会贯通。

（1）如图7，在网格中，小正方形的边长均为1， 点A、B、C、D、E都在这些小正方形的顶点上，求∠AEC的正切值。

图7

图8

（2）如图8，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E都在这些小正方形的顶点上，若∠CAE+∠DAB=α，求∠α的正切值。

当然，以上问题的解决方法还有其他，如建立平面直角坐标系，通过“K”型构造也可，但我们寻求的还是通过由点带面，实现通一题达一类，发现问题的本质与路径。