经济函数及其应用举例

文/赵晓艳，河南质量工程职业学院基础教学部

所谓经济学本质上是一门社会科学，他研究的对象比如效应、风险、服务等；我们之所以会有那么多关于经济学的公式和数学模型。数学模型提供了一种研究方法，是方便你去理解、去研究的工具。数学是工具，至少很多经济学书籍，论文都会用很多数理模型数学也是一门语言，许多涉及到数量、结构的学科都需要这门语言，包括经济学。经济学里面，有一些需要用艰深的数学语言，有一些不需要。既要重视数理，更要重视思想。思想是一个梗概，又像灯塔就好比盖楼的设计图一样。然后具体到墙多厚建多高，就要实际去算了。经济学里很多基础的假设本身是属于统计学概念的大样本结论，经济学做为一门学科，应该能够定性定量的分析经济，思想可以定性，但是定量需要用数学方法来进行衡量。

1 经济函数以及应用

1.1 需求函数

我们假定除商品的价格之外的因素都保持不变，只有商品的价格影响需求.这时，该商品的需求量Q可以看成是该商品价格p的函数，称为需求函数，记作

需求函数的图像称为需求曲线.需求函数的反函数在经济学中也称为需求函数，有时也称为价格函数.“商场为什么要打价格战？”通常需求函数是单调减少的，即商品的需求量随价格的上涨而减少，随价格的下降而增加.正因为如此，商场通过降低价格、增加商品的销售量（需求量）的营销策略，增加了销售收入.

1.2 供给函数

我们假定除商品的价格之外的因素都保持不变，只有该商品的价格影响供给量.这时，该商品的供给量Q可以看成是该商品价格p的函数，称为供给函数，记作Q=f(p),p〉0

例如“为什么有的商家要囤积商品，等待时机再销售？”通常供给函数是单调增加的.即价格越高，厂商越愿意供给商品;价格太低，厂商不会供给商品.这时商家要囤积商品，等待时机再销售的主要原因.供给函数的图像称为供给曲线，供给曲线与价格p轴的交点若是(p0,0)，则应有p0〉0，在经济学上应理解为，只有当价格超过p0时，生产者才开始提供产品.市场上使得某种商品的需求量与供给量一致时的商品数量称为均衡数量，此时商品的价格称为均衡价格. 假设为超额需求，市场上商品供过于价格下降；供不应求价格上涨.

下面我们给出一个实例，已知某商品的供给函数是Qs=2p－4,需求函数是Qd=50－4p,试求该商品的均衡价格和均衡数量.由2p－4=50－4p。所以均衡价格p=9，均衡数量为2×9－4=14.当该商品的价格低于9时，需求大于供给；当该商品的价格高于9时，供给大于需求.

1.3 成本函数

1.总成本函数：总成本是指生产特定产量的产品所需要的成本总额.它包括两部分：固定成本和可变成本.固定成本(通常用C1表示)是尚没生产产品时的支出，在一定限度内是不随产量变动而变动的费用，如厂房费用、机器折旧费、一般管理费用、管理人员的工资等.可变成本(通常用C2表示)是随产量变动而变动的费用，如原材料、燃料和动力费用及生产工人的工资等.若以Q表示产量，C表示总成本，则C与Q之间的函数关系称为总成本函数，记作C(Q)=C1+C1≥0是固定成本，C2是可变成本.)通常情况下，总成本函数具有下述性质：（1）总成本函数是单调增加函数，这是因为当产量增加时，成本总额必然随之增加;

（2）固定成本非负，即C1=C(0)≥0.这很显然，在尚没生产商品时，也需要支出，这与产量无关的支出是固定成本.

2.平均成本函数：平均成本是平均每个单位产品的成本.平均成本记作AC，若已知总成本函数C=C(Q)，则平均成本函数为AC=总成本/产量=C(Q)/Q,Q〉0。例如设某企业生产某种产品的固定成本为10万元，又每生产一件产品需增加成本0.8万元，求总成本函数及平均成本函数，固定成本C1=10万元，可变成本C2=0.8Q.所以总成本函数为C(Q)=C1+C2=10+0.8Q。平均成本函数为AC=C(Q)/Q=10/Q+0.8

1.4 收益函数

收益是指生产者出售商品的收入.总收益是指将一定量产品出售后所得到的全部收入.它通常记作R.总收益R为销售价格p与销售数量Q的乘积.若以销量Q为自变量，总收益R为函数，则R与Q之间的关系称为总收益函数.在已知需求函数总收益函数记作平均收益是指出售一定量的商品时，单位商品所得到的平均收入，即单位商品的售价.平均收益函数记作AR，其计算公式如下：AR=总收益/销量

1.5 利润函数

总利润函数定义为总收益函数R=R(Q)与总成本函数C=C(Q)之差.若以L表示总利润，则总利润函数（简称利润函数）L=L(Q)=R(Q)－C(Q)。显然，若产量为Q，当R(Q)〉C(Q)时，盈利；当R(Q)〈C(Q)时，亏损;满足R(Q)=C(Q)的Q是盈亏平衡点.例如某工厂生产某种产品，固定成本为40000元，每生产一单位产品需增加成本100元.已知产品的最大销售量为400单位，总收益R是年产量Q的函数,则利润函令L=0，得盈亏平

2 边际函数及其应用

边际概念是导数概念的经济解释. 由导数定义知道，函数的导数是函数的变化率.它实质上描述了由该函数所表示的那个事物或现象的变化情况.下面介绍几个最常见的边际函数.

2.1 边际成本MC

就是总成本函数C(Q)对产量Q的导数，即MC=C′(Q).

边际成本MC可近似理解为：当产量为Q时，再增加（或减少）一个单位产量，总成本增加（或减少）的数量.线性总成本函数为C

(Q)=5Q+200,求边际成本.边际成本MC=C′(Q)=(5Q+200)′=5。再例如三次总成本函数

2.2 边际收益

边际收益MR为收益函数R(Q)的导数，即MR=R′(Q).

边际收益MR可近似理解为：当销量为Q单位时，再增加（或减少）单位产品，总利润增加（或减少）的数量.例如某产品的需求函其中P为价格，Q为销售量，我们可以非常容易求出销售量为某单位时的总收益、平均收益与边际收益.

2.3 边际利润

边际利润为利润函数L(Q)的导数L′(Q).边际利润L′(Q)可近似理解为：当销量为Q单位时，再增加（或减少）单位产品，总利润增加（或减少）的数量.例如某工厂进行了大量的统计分析后，得出总利润L(Q)（元）与每月销量Q（吨）的关系为L(Q)=250Q－52Q，试确定每月销量为20吨、25吨、30吨时的边际利润，并作出经济解释.边际利润函数为L′(Q)=(250Q－52Q)′=250－10Q，则L′(Q)上述结果表明当每月销量为20吨时，利润对销量的变化率为50元∕吨；当每月销量为25吨时，利润对销量的变化率为0元∕吨；当每月销量为30吨时，利润对销量的变化率为-50元∕吨.这也说明，对厂家来说，并非销量越大，利润就越高，厂家应作出科学的决策.

2.4 边际需求

边际需求为需求函数Q(P)的导数Q′(P).边际需求Q′(P)是可近似理解为：当价格为P时，价格上涨（或下降）1个单位需求量将减少（或增加）的数量.例如某商品的需求函数求P=4时的边际需求，并说明经济意义.边际需求函数

3 结束语

经济发展离不开数学工具的支撑，我们经常利用数学中的方法来研究经济问题。本文首先介绍了几类常用经济函数及其简单应用，然后又研究了边际函数以及边际函数在经济学中的应用，并举出了典型案例，最后对本文进行了总结。