再议斜面定理十九例

重庆 杨天才

高考物理试题的问题设置从方位上看，不外乎水平、斜面和竖直这三种方位，而斜面本身又包含了水平和竖直两个方位，因此研究斜面上(内)物体的运动规律，可以达到事半功倍的效果，笔者总结了斜面定理三十二例，其中前十三例已发表在《教学考试》(2018年第1期)上，下面将再列举十九例。

示意图内容斜面定理十四图1物体所受重力沿固定斜面向下和垂直于斜面向下的分力分别为G1=mgsinθ,G2=mgcosθ。(已知斜面倾角为θ,物体的质量为m)斜面定理十五图2物体A静止或匀速直线运动,斜面静止,地面对斜面的支持力为FN=(M+m)g-Fsinθ,摩擦力为f=Fcosθ。(已知斜面倾角为θ,斜面、物体的质量分别为M、m)斜面定理十六图3要使物体沿固定斜面向上匀速直线运动,F的最小值为Fmin=mg(sinθ+μcosθ)1+μ2。(已知斜面倾角为θ,动摩擦因数为μ,物体的质量为m)斜面定理十七图4物体(v0=0)沿固定斜面下滑的条件:①tanθ>μ,加速下滑且下滑的a=g(sinθ-μcosθ);②tanθ≤μ,物体保持静止状态。若斜面为匀速直线运动的传送带,物体与传送带保持相对静止时,①tanθ>μ,物体相对传送带加速下滑或减速上滑,且a=g(sinθ-μcosθ);②tanθ≤μ,物体与传送带保持相对静止做匀速运动。(已知斜面倾角为θ,动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力)斜面定理十八图5物体沿固定斜面上滑的加速度a=g(sinθ+μcosθ),到达最高点后下滑的加速度a'=g(sinθ-μcosθ)。(已知斜面倾角为θ,动摩擦因数为μ,tanθ>μ,若tanθ≤μ,物体不再下滑,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

续表

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以下是证明过程。

【斜面定理十四】如示意图1，已知斜面倾角为θ，物体的质量为m，物体所受重力沿固定斜面向下和垂直于斜面向下的分力分别为G1=mgsinθ，G2=mgcosθ。

【解析】对物体的重力按效果分解有G1=mgsinθ，G2=mgcosθ，若斜面倾角θ=0或π/2结论也成立。

【斜面定理十五】如示意图2，物体m静止或匀速直线运动，倾角为θ、质量为M的斜面静止，则地面对斜面的支持力为FN=(M+m)g-Fsinθ，摩擦力为f=Fcosθ。

【解析】对整体受力分析、正交分解，由平衡条件FN+Fsinθ=(M+m)g，支持力为FN=(M+m)g-Fsinθ，摩擦力为f=Fcosθ。若F=0、θ=0或π/2结论也成立。

【斜面定理十六】如示意图3，质量为m的物体，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上运动，求拉力F与斜面夹角多大时拉力F最小，最小值是多少？已知斜面倾角θ，物块与斜面之间的动摩擦因数μ。

图20

【斜面定理十七】如示意图4，初速度为零的物体沿固定斜面下滑的条件：①tanθ>μ，加速下滑a=g(sinθ-μcosθ)；②tanθ≤μ，物体保持静止状态。若斜面为匀速直线运动的传送带，物体与传送带保持相对静止时，①tanθ>μ，物体相对传送带加速下滑或减速上滑，且a=g(sinθ-μcosθ)；②tanθ≤μ，物体与传送带保持相对静止做匀速运动。已知斜面倾角为θ，动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

【解析】对物体受力分析，物体重力沿斜面向下的分力为mgsinθ，而最大静摩擦力为fm=μmgcosθ，物体匀速下滑，mgsinθ=μmgcosθ，所以tanθ=μ。显然物体沿固定斜面下滑的条件：①tanθ>μ，加速下滑，由牛顿第二定律有a=g(sinθ-μcosθ)；②tanθ≤μ，物体保持静止状态。若斜面为匀速直线运动的传送带，物体与传送带保持相对静止时，有①tanθ>μ，物体相对传送带加速下滑(物体和传送带一起向下运动)或减速上滑(物体和传送带一起向上运动)，且a=g(sinθ-μcosθ)；②tanθ≤μ，物体与传送带保持相对静止做匀速运动。若斜面光滑、θ=0或π/2结论也成立。

【斜面定理十八】如示意图5，倾角为θ的斜面固定，若物体以一定初速度上滑(tanθ>μ)，则上滑的加速度a=g(sinθ+μcosθ)，然后下滑的加速度a′=g(sinθ-μcosθ)。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块与斜面之间的动摩擦因数μ。

【解析】对物体受力分析，由牛顿第二定律，有mgsinθ+μmgcosθ=ma，解得a=g(sinθ+μcosθ)，因tanθ>μ，速度减为零时下滑，重新受力分析，mgsinθ-μmgcosθ=ma′，解得a′=g(sinθ-μcosθ)，v-t图象如图21所示。若斜面光滑，物体做对称的类上抛运动，若θ=π/2结论也成立。

图21

图22 图23

【斜面定理二十七】如示意图14，物体沿斜面运动，若加速度大小为a=gsinθ，则机械能守恒。

图24

图25

【斜面定理二十九】如示意图16，试管内长为h的水银柱封闭一段空气柱，管内空气的压强为p=p0-ρghsinθ。若试管开口向上，管内空气的压强为p=p0+ρghsinθ。(已知水银密度为ρ、外部大气压为p0、不计水银与管壁的摩擦、试管的倾角为θ)

【解析】若试管开口向下，对水银柱受力分析，由力的平衡条件，pS+mgsinθ=p0S，m=ρV=ρSh，则管内空气的压强为p=p0-ρghsinθ。同理，若试管开口向上，则管内空气的压强为p=p0+ρghsinθ。若θ=0或π/2结论也成立。