浅谈一类动点问题最值的求法

符振勇

【摘要】动点问题是中考必考的内容之一，但大部分同学认为这类问题很抽象，做起来困难.而动点问题可以进行分类总结，大致可分为五种.本文就对其中的四种进行详细的分析，进而为动点问题求最值提供参考.

【关键词】动点问题；最值；求法

在初中数学中，“两点之间，线段最短”是初中数学的重要定理之一，动点问题几乎成了每年中考必考的一个内容，很多同学都认为动点问题很难、很抽象，从心理上就非常惧怕这一类问题，如果我们能够很好地对其进行归类总结的话，可以把它弄得很简单，下面我们对一类动点问题求最值进行归类总结.1.水电站（自来水厂）问題，都可以化归为要在小河边修建一个自来水厂，向村庄A，B提供用水，村庄A，B在小河的同侧，自来水厂应建在什么位置，才能使它到A，B距离之和最短？达到节约水管的目的；2.牵马喝水问题：我们完全可以把牧童的位置看作是A村，把牧童家的位置看作是B村，从而转化为第一类问题；3.坐标系问题：我们也可以把x轴看作是一条河流，A点、B点分别看作是第一类问题中的对应A，B，从而把这类问题转化为第一类问题，只是此题求P点坐标的方法可以转化为直线AB与x轴交点的方法，从而巧妙地解决问题；4.菱形问题：我们也可以把AC这条对角线看作是河流，B，E点分别看作是A，B村的问题，只是此题巧妙地利用了菱形的性质，B点的对称点就是D点，然后把DE连接起来，DE与AC的交点就是动点P的位置，DE的长度就是所求的最小值；5.求周长问题：我们可以这样理解，因为四边形EFGH为平行四边形，而根据平行四边形对边相等的性质，得EF=GH，EH=FG，所以，EF+EH=GH+FG，也就是说，如果能够求出EF+EH的最小值，那么就求出了GH+FG的最小值，从而求出了该平行四边形的周长的最小值，那么我们可以把AB看作是一条河流，E，G看作是A，B村，从而转化为第一类最基本的模型进行求解.现对前四类问题进行详细分析：

一、水电站问题

在河流MN的同一侧有A，B两村，现要在河流MN上建一水电站P，则水电站P应建在何处才能使PA+PB最小？

二、牵马喝水问题

牧童在A处看马，现要牵马去河流MN喝水，喝水之后回家B处，那么应该牵到MN何处，牧童所走的路程最短？

例：已知，如上图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走1300米.

三、坐标系问题

在直角坐标系中，取点A（-2，1），B（3，4），在x轴上有一点P，若使PA+PB最小，求P点的坐标.

解 求出A（-2，1）关于x轴的对称点A′（-2，-1），然后求出直线A′B的解析式为y=x+1，最后求出P（-1，0）.

四、菱形问题

在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AB中点，P是AC上任一点，则PE+PB的最小值是.

解 连接BD，设AC与BD交于O.

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，∴BO=DO，

∴BP=DP，

∴BP+PE=DP+PE.

在△DEP中，DP+PE>DE，

∴BP+EP的最小值为DE，

DE=ADsin60°=2×32=3，

∴BP+EP的最小值为3.

总之，这一类型的题目都可以转化为自来水厂这种基本的模型来解决.作为教师不管在平时教学还是在中考复习中，应总结同类型的题目，拓展例题、习题及重视学生的探究.作为学生，解题不在多，真正掌握方法就行.所以，找到变幻万千的试题背后最本质的原理或模型，才能发展思维，提升能力.因此，重视解题后的反思及整理才是学习之根本.

【参考文献】

[1]徐遵会.“两点之间线段最短”在解最值问题中的应用[J].中学生数学，2013（24）：9-10.

[2]徐遵会.一个基本定理在解最值问题中的应用[J].初中数学教与学，2013（21）：12-14.