基于卷积的风速和负荷相关性分类处理的概率潮流计算*

黄强，张刘冬，陈兵

(国网江苏省电力有限公司电力科学研究院，南京 211103)

0 引 言

对于含大规模风电场并网的电力系统，风电场出力和负荷的变化不仅存在不确定性，而且分别具有相关性。忽视这两类相关性，可能会导致系统潮流概率分布出现较大误差，从而造成系统规划和运行风险评估偏离实际。因此，概率潮流计算需要具备同时处理负荷相关性以及风速相关性的能力[1-9]。

针对同时处理风速相关性和负荷相关性的概率潮流算法，现有研究大致可归纳为三类方法：

(1)蒙特卡罗法[2-4]；(2)点估计法[5-6]；(3)累积量法(半不变量法)[7-9]。其中，文献[2-4]在概率潮流计算中，采用蒙特卡罗法抽样生成大量具有相关性的风速及负荷样本。但该方法缺点在于为提高计算精度，往往需要提高系统抽样规模，从而导致计算时间过长，一般用来作为基准方法进行比较，衡量其他方法的准确性。点估计法是一种近似方法，一般利用输入随机变量的统计信息来逼近系统状态变量的数字特征，即可根据已知随机变量的概率分布，求得待求随机变量的各阶矩。该方法避开了大规模的重复抽样，因而求解速度较快。文献[5-6]在点估计法中，使用矩阵变换的方法处理风速相关性和负荷相关性，计算速度很快，但获得支路潮流的概率密度函数不够精确，一般只用于求取其均值和方差。累积量法又称半不变量法，其思想是只通过解析计算就能求出系统状态变量的概率分布。该方法要求系统状态变量是输入变量的线性表达式，利用累积量的特性，只通过简单的代数运算就可以求得状态变量的各阶累积量，并结合Gram-Charlier级数获得支路潮流的概率密度函数，大大地节省了计算时间。文献[7-9]在线性化的交流潮流模型中，利用采样生成风速和负荷相关性样本的方法计算累积量，并使用累积量法计算支路潮流的概率分布。目前该算法的研究重点是非正态分布的变量相关性处理，改善各阶矩和累积量的计算精度与计算效率，获得更为准确的概率密度函数。

上述同时处理负荷相关性和风速相关性的概率潮流计算方法，实质上忽视了两种随机变量概率特性的差异，采用相同的方法处理具有不同概率分布特性的随机变量的相关性，没有充分利用一般呈正态分布的负荷在计算相关性时具有的便利。文献[10]利用负荷的正态分布特性，首次采用解析法快速求取具有相关性的多个负荷对应总负荷的正态分布函数，并应用了累积量法计算支路潮流的概率密度函数。文献[11]首次采用卷积法求解概率潮流问题，并考虑了负荷相关性为线性的情况。文献[12]将蒙特卡罗法与卷积法相结合，采用蒙特卡罗法模拟出风电场出力的概率密度函数，然后代入解析的直流概率潮流计算中，结果具有足够精度的情况下尽量减少计算时间。

为此，提出基于分类处理风速相关性和负荷相关性的直流概率潮流算法。它延用蒙特卡罗法计算相关风电场总出力的概率密度曲线；利用负荷一般呈正态分布的特性，采用解析法快速求得总负荷的正态分布函数；最后采用卷积法将两类概率计算结果进行综合。由于在处理具有相关性负荷时避免了负荷样本的生成与采样，仅需要进行一次卷积计算，可以大幅提高概率潮流的计算效率。文章对含多风电场的IEEE RTS-96系统和IEEE 108系统进行了仿真分析，并与蒙特卡罗法、点估计法及累积量法进行比较，验证了本文方法的有效性和优越性。

1 直流潮流模型

1.1 基于直流潮流的线路有功功率线性表达式

采用直流潮流计算模型或者线性化的交流潮流计算模型。由直流潮流模型[12-13]可得：

(1)

式中B为节点导纳矩阵的虚部矩阵；B′为B去掉平衡节点后的矩阵，所以B′存在逆矩阵；Pij为线路i-j的有功功率；δij为线路i-j首末节点的相角差，δ为相角差矩阵；xij为线路i-j的电抗；PN为节点注入功率矩阵。

综合式(1)中的3个等式，可以获得线路i-j的有功功率线性表达式：

(2)

式中αn为节点n对线路i-j的转移分布因子；Pn为节点n的注入功率。节点注入功率可以分为发电机组出力和负荷需求2部分，其中发电机组又包括传统机组和风电机组。因此，式(2)可以分为3部分，即:

(3)

式中M为传统机组数目；Pgm为传统机组m的出力；K为风电场数目；Pwk为风电场k的出力；L为负荷数目；Pdl为负荷l的大小。

1.2 风电场出力模型

(4)

式中系统接入的K个风电场中包含n个具有相关性的风电场组，每组风电场分别有K1,K2, …,Kn个风电场，风电场组之间相互独立，组内风电场之间具有相关性；其余(K-K1-K2-…-Kn)个风电场为独立风电场。

1.2.1 风电场出力的概率分布

风速的概率分布一般采用威布尔分布模型来模拟[12-13]。

(5)

式中k为形状参数;c为尺度参数。

风电机组的有功功率输出特性[12-13]如下：

(6)

式中vci为切入风速;vrate为额定风速;vco为切出风速；Prate为风电机组额定出力。

由式(5)和(6)可以获得风电场出力的概率分布：

(7)

1.2.2 风电场出力的相关性描述

风电场出力相关性一般采用线性相关系数来描述，多个风电场的出力相关性常用线性相关系数矩阵描述[14-16]。在式(4)中，第m个相关风电场组包含Km个具有相关性的风电场，其相关系数矩阵Cm如式(8)所示：

(8)

式中ρij为风电场i和风电场j的线性相关系数，i,j=1,2,…,Km；Vi和Vj为对应风电场的风速随机变量；σi和σj为对应风速的标准差。

1.3 负荷模型

(9)

式中系统L个负荷中包含m个具有相关性的负荷组，每组负荷分别有L1,L2, …,Lm个负荷，负荷组之间相互独立，组内负荷之间具有相关性；其余(L-L1-L2-…-Ln)个负荷为独立负荷。

1.3.1 负荷的概率分布

一般认为负荷是服从正态分布的[2-12]，其概率密度函数如下：

(10)

式中μ是均值;σ2是方差。

1.3.2 负荷的相关性描述

负荷是服从正态分布的，正态分布变量的相关性可以用线性相关系数描述，因此多个负荷的相关性用线性相关系数矩阵描述。在式(9)中，第k个相关负荷组包含Lk个具有相关性的负荷，其相关系数矩阵Ck如式(11)所示。

(11)

2 基于卷积的分类处理风速相关性和负荷相关性的直流概率潮流算法

2.1 直流概率潮流算法的流程

鉴于风速和负荷的不同概率分布特性[2-12]，本文提出了基于卷积的分类考虑负荷相关性和风速相关性的概率潮流计算方法。算法流程图如图1所示。

具体步骤如下：

步骤1：参照第1节方法，根据直流潮流模型或者线性化的交流潮流模型，获得线路的有功功率线性表达式，并将其分为传统机组出力、风电场出力及负荷3个部分;

步骤2：获得风电总出力的概率密度函数;

步骤2.1：对具有风速相关性的风电场组及独立的风电场，采用拉丁超立方采样 (Latin Hypercube Sampling, LHS) 方法获得风速样本;

图1 直流概率潮流算法流程图

步骤2.2：根据式(6)，由风速样本转化为风电功率样本，根据式(4)，将风电功率样本相加获得风电总出力样本；

步骤2.3：通过离散点拟合风电总出力样本，获得风电场总出力的概率密度曲线。

步骤3：总负荷的概率密度函数;

步骤3.1：对具有负荷相关性的负荷组，采用解析法获得其线性组合的概率密度函数表达式；

步骤3.2：对独立的负荷，采用解析法获得其累积和的概率密度函数表达式。

步骤4：采样卷积方法，将风电和负荷的概率密度函数以及常规机组出力结合起来，获得线路有功功率的概率密度函数。

2.2 基于蒙特卡罗法的风电总出力的概率密度函数求取

2.2.1 风速样本的LHS采样

分别对式(4)中的n组具有相关性的风电场组及其它独立风电场进行风速的LHS采样。

(1)对风电场组进行相关风速模拟。

针对式(4)中n组具有相关性的风电场组，采用LHS方法进行相关风速模拟。如其中第m组具有相关性的风电场组，包含Km个具有相关性的风电场，首先进行分层抽样生成初始风速样本数据，详细步骤如下：

然后根据风电场的相关系数矩阵对风速样本进行重新排序，详细步骤如下：

第m组风电场组的相关系数矩阵为Cm，将Cm进行Cholesky分解Cm=BBT，获得变换矩阵B。对Km个相互独立的标准正态分布随机变量，进行采样规模为N的随机抽样，获得Km×N的样本矩阵W，由Z=BW获得样本矩阵Z，根据Z和W的顺序变化获得顺序矩阵Ls(Ls为Km×N的矩阵，每一行为整数1到N的一个排列，对应于Z中相应行元素的大小顺序)。对分层抽样得到的初始风速样本数据按照顺序矩阵Ls进行排序，即可获得最终的风速样本。

(2)对独立风电场进行风速模拟。

对于式(4)中独立的风电场，采用LHS方法进行独立风速模拟。具体流程与相关风速模拟类似，首先进行分层抽样生成初始风速样本数据；然后根据风电场的相关系数矩阵对风速样本进行重新排序，顺序矩阵直接由对标准正态分布随机变量进行采样规模为N的随机抽样获得；最后对分层抽样得到的样本按照顺序矩阵进行排序，即可获得最终的风速样本。

若将独立风速的相关系数视为0，则可将所有风电场视为一个相关风电场组，相关风速和独立风速采样可以同时进行。

2.2.2 风电总出力样本转化

根据式(6)，由风速样本转化为风电功率样本。给定风机参数，将每个风速样本带入式(6)中，即可得到相应的风电功率。再根据式(4)，将所有风电场的风电功率样本带入式中，可以得到风电总出力样本，样本规模为N。

2.2.3 风电总出力的概率密度曲线拟合

通过离散点拟合风电总出力样本可以获得风电总出力的概率密度函数。即根据风电总出力的取值范围，得到其取值落在相应范围内的频数，进而以频率代替概率，从而获得风电总出力的概率密度函数。

2.3 基于解析法的总负荷的概率密度函数求取

2.3.1 具有相关性负荷组的正态分布函数求取

已知正态分布函数的均值和方差就可以描述其概率密度函数。对于具有相关性的正态分布负荷组，其线性组合也服从正态分布，因此可以采用解析法快速计算出总负荷的均值和方差，得出总负荷的正态分布函数的表达式。

在式(9)中，对于相关性负荷组中的第k组负荷组，可以采用解析法快速得出总负荷的正态分布函数的均值和方差。计算公式如下：

(12)

式中k为负荷组号，第k个负荷组包含Lk个相关性负荷，k=1, 2, …,m；Ak为系数矩阵Ak=[α1,α2, …,αLk]；Pdk为负荷变量矩阵Pdk= [Pd1,Pd2, …,PdLk]；μ为对应的Pdk的均值矩阵，C为Pdk的协方差矩阵。

2.3.2 总负荷的正态分布函数求取

在式(9)中，具有相关性的负荷组通过式(12)转换为独立的负荷，其总负荷的正态分布函数可以通过式(13)求出。

(13)

对于式(9)，也可以将独立负荷视为相关性负荷，其与其它负荷间相关性系数为0，即协方差矩阵对应项为0，则解析法可以同时处理变量相关和独立的情况。

2.4 基于卷积的线路功率的概率密度函数求取

在式(3)中，根据2.2节和2.3节分别求出的风电总出力以及总负荷的概率密度函数，采用卷积计算可以获得线路功率的概率密度函数。

(14)

3 算例仿真与分析

本节分别对含多风电场的IEEE RTS-96系统和IEEE 108系统[4,10]进行仿真分析，并与蒙特卡罗法、点估计法[5-6,17]及累积量法[9,18]进行比较，验证文中方法的有效性和优越性。

3.1 IEEE RTS-96系统算例

3.1.1 系统参数

本节对IEEE RTS-96系统进行了仿真计算。系统相关参数设置如下[10]：节点1、2、16、21为风电场接入节点，其相关系数矩阵为：

节点16、18、19、20的负荷具有相关性，其相关系数矩阵为：

系统中风速模型、风机出力模型参数如下：

风速参数：k=2.0，c=7.5；风机参数：vci=4 m/s，vrate=10 m/s，vco=22m/s

3.1.2 各类方法比较分析

文中方法与累积量法以及点估计法进行了比较，以蒙特卡罗法作为基准，蒙特卡罗法采样次数为10 000。

(1)概率密度曲线比较。

对文中方法与累积量法以及点估计法分别获得的线路有功功率的概率密度函数曲线进行比较，选取其中3条支路，分别如图2～图4所示。对3种方法获得的系统支路的概率密度函数误差进行比较，如图5所示。

图2 支路1-2有功功率的概率密度函数曲线的比较

图3 支路1-5有功功率的概率密度函数曲线的比较

图4 支路3-9有功功率的概率密度函数曲线的比较

图5 不同方法的概率密度误差比较

由图2～图4可以看出，文中方法获得的概率密度曲线精度最高，其他两种方法尤其是点估计法在高峰和低谷时差别较大。具体总结如下：

(a)对于极少数线路，如图2所示，点估计法的误差特别大，这是由于点估计法使用Gram-charlier展开求取概率密度函数的特性造成的，因此一般不使用点估计法求概率密度函数；

(b)对于多数线路，其有功功率的概率密度曲线为明显的双峰，如图3所示，本文方法精度最高，累积量法和卷积法得到概率密度函数在峰值时误差较大;

(c)对于少数线路，其有功功率的概率密度曲线为接近单峰，如图4所示，仍然是本文方法精度最高，累积量法和卷积法得到概率密度函数误差略小;

(d)图5计算的概率密度误差取的是绝对值，由图5可以看出，本文方法的准确性远高于累积量法和点估计法。并由图2～图4可以看出，本文方法的误差来源其实是蒙特卡罗法的波动，其与蒙特卡罗法误差很小，证明了本文方法的准确性。

(2) 计算时间比较。

本文方法与蒙特卡罗法对IEEE RTS-96系统进行仿真计算。系统中风电场个数为4，节点数为24，计算时间如表1所示。此外，为了比较系统中风电场节点数量对计算时间的影响，本文调整算例中的风电场个数，计算时间统计如表1所示。

表1 风电场数量对计算时间的影响

从表1可以看出，随着风电场个数增加，计算时间增加，这是因为风电场增加导致采样规模增加，采样时间增加。风电场数目本中文方法和蒙特卡罗法的影响是相同的，因此文中方法可以在保证准确性的前提下，大幅减少计算时间，证明了文中方法的优越性。

3.2 IEEE 108系统算例

3.2.1 系统参数

对IEEE 108系统进行了仿真计算如表2所示。

表2 风电场数据

IEEE 108系统规模比IEEE RTS-96系统更大，且系统中包含3组风电场，各组间相互独立，组内风电场间具有相关性。系统中风电场节点的参数及相关性设置如下[4]：

节点2、3、5、13、14、16为风电场接入节点，其相关系数矩阵为：

节点44、50、52、53为风电场接入节点，其相关系数矩阵为：

节点82、83、84、86为风电场接入节点，其相关系数矩阵为：

节点106、108、109、110的负荷具有相关性，其相关系数矩阵为：

系统中风速模型、风机出力模型参数如下：风速参数：k=2.0，c=7.5；风机参数：vci=4 m/s，vrate=10 m/s，vco=22 m/s

3.2.2 各类方法比较分析

(1)概率密度曲线比较

对文中方法与累积量法以及点估计法分别获得线路有功功率的概率密度函数曲线进行比较，选取其中2条支路，如图6、图7所示。对3种方法获得的支路的概率密度函数误差进行比较，如图8所示。由图6～图8可以看出，文中方法获得的概率密度曲线和蒙特卡罗法拟合精度最高，而累积量法和点估计法在概率密度曲线峰值时误差较大。

图6 支路1-2有功功率的概率密度函数曲线的比较

图7 支路3-5有功功率的概率密度函数曲线的比较

图8 不同方法的概率密度误差比较

(2)计算时间比较

计算时间比较如表3所示。

表3 计算时间的比较

4 结束语

提出了基于卷积的分类处理风速相关性和负荷相关性的直流概率潮流算法。该方法采用基于拉丁超立方采样的蒙特卡罗法处理风速相关性，解析法处理负荷相关性，并使用卷积方法将两者结合起来。解析法的使用避免了大规模采样，缩减了计算时间。文中对IEEE RTS-96和IEEE 108系统进行了仿真计算，结果表明文中使用的方法可以在保证准确性的前提下，大幅减少计算时间，可以应用于大规模电力系统的概率潮流计算。