且行且思且运算

漆光宗

解析几何的核心是坐标法，这种方法运算过程往往比较繁杂，对运算能力要求较高，下面通过具体的例子，我们就如何减轻解析几何运算负担的方法、思路与技巧加以探讨，以帮助同学们提高运算能力，

一、且审且调整——巧选变量繁亦简.

本题要求△ABC面积的最大值，自然会想到三角形的形状是变化的，很容易注意到由于k的变化导致了三角形的形状变化，从而三角形的面积在变化，k-旦确定，三角形的形状就确定了，其面积也就确定了，因此变量k的值决定了三角形的面积.同学们一般都会首先想到先用k表示出S，然后再求其最值.

这一方法，容易人手，但运算却相当繁杂.从刚才的解析中，我们明白了一点：为了表示△ABC的面积，应先选择适当的变量，而变量的选择取决于影响确定图形的因素，刚才的解法是直接选用题设中的变量k，但函数解析式较为复杂，导致最值不易求出.能否考虑另换变量以简化解题呢？如果改用弦心距为自变量，很明显，由于设出的变量即为高，而底（弦长）又极易用高表示，因此运算量会相对較小.

可见，变量的选取不同往往会导致解题过程难易有别、运算繁简各异.恰当选取变量，往往会让解题变得更为容易.

二、且数且图形——几何性质助解题

在解决与圆有关的问题时，如果能够借助于圆的几何性质，或者画出图形，充分利用图形发掘几何特征，往往会简化思路，简便运算.

思路二 注意到直径所对的圆周角为直角这一圆的几何性质，可知直线PM与直线QM互相垂直，其斜率互为负倒数，因此只需设一个变量k，运算将变得简单明了.因此可以对以上方法做如下优化：

设直线PM的斜率为k，则直线QM的斜率为-1/k.

三、且算且思考——想清“算理”运算简

在一些复杂的运算过程中，时刻需要以想代算，琢磨透每一个“算理”，一般不要把中间式子盲目地化简到底，而是需要在运算的过程中，不人为破坏“规律”，保持好式子结构的“特征”，以便于约分、通分、相消等，否则，往往会破坏结构规律，导致运算量增大，甚至算不下去.且算且思考，才能真正达到简算、巧算的目的.

例3 已知圆C x²+y²=9与x轴的交点分别为A，B.点P为定直线x=4上一动点（除去与x轴的交点），设AP与圆C交于点M，BP与圆C交于点N，问直线MN是否恒过一定点，若是求出定点坐标，

解 A（-3，0），B（3，0），设P（4，t），则直线AP的方程为y=t/7（x+3）.

因为k_MH=k_NH，所以M，N，H三点共线，即直线MN经过定点H（9/4，o）.

综上，无论t为何值，直线MN必经过定点H（9/4，o）.

本题中求x₁和x₂就没有直接去解方程，而注意到已经知道方程的一个解（点A或B的横坐标），只需利用两根之积求得另一根.在本题的整个运算的过程中，并没有把中间的任何一个式子化简到最简，而是保留好t²+1，t²-1，t²+49，t²-49这些整体结构，在中间过程中，一些数字和式子的乘积也都没有乘出来，反而有利于通分和约分，使运算得以顺利进行.

同学们，在解决解析几何问题时，既要重视思路方法，还要注意变量的选取，运算技巧，以及图形特征和几何性质的运用，既要有整体和求简意识，又要养成以想代算，注重“算理”，保持中间式子的结构特征、数学规律不破坏的习惯.各种策略是相互依存的，在具体解题的过程中往往需要综合考虑、穿插运用、相互补充，才能真正达到变难为易、化繁为简的效果.