平面解析几何如何突破审题难

关潘鹏

我们知道解题都要突破审题难关，那解决平面解析几何问题，除了要注意一些一般的审题注意点外，还有什么要特别注意的地方？并且，我们能不能在审题阶段就奠定解题的思路和方向呢？下面，结合具体问题，笔者将谈谈自己的一些感悟.

一、结论导向，追本溯源

这种审题思路就是所谓的“分析法”，也是解数学题的一般思路，即从要证明或求解的结论逆推，逐步寻求每一步结论成立的前提条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或已知定理为止，这种审题思路比较适合解析几何中的求值问题和证明题.

二、几何定向，代数运算

我们知道，解析几何最终的研究落脚点还是几何，所以我们在解题时，应积极通过寻找已知几何量的关系来确定计算方向，后续的计算环节，绝不是漫无目的的“死算”，而是在几何条件的指引下，有的放矢的运算，这样的“几何定向”，既可以秒杀小题，也可以在大题目中一显身手.

例3已知点C（1，0），点A，B是⊙O：Xx²+y²=9上任意两个不同的点，且满足AC⊥BC，设P为弦AB的中点.求点P的轨迹T的方程.

审题突破 注意到条件AC⊥BC，想到连结CP和OP，在Rt△ABC中可得CP=AP=BP，然后，由垂径定理得OP²+AP²=OA²，即OP²+CP²=9，再设点P（x，y），代人列式即得第一问答案是x²-x十y²=4.

通过这两个例子，可以发现解析几何中几何关系的运用是非常关键的，往往决定了运算的方向，只有当运算方向确定了，我们的计算才能够做到有的放矢，事半功倍.

三、合理归类，预估算量

解析几何问题有一些固定的类型.常见的有与弦有关的问题、最值问题、面积问题、定值定点问题、多变量问题、阿波罗尼斯圆问题等等.在审题的时候，可以有意识地进行归类，结合已有解题方法和经验解决问题，另外，合理设计解题思路也是非常重要的，尽量避免想到哪算到哪，要对整体的运算量有个大概的把握，这样才能在真正动笔时做到心中有数，

例4 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²+y²-12x-14y+60 =0及其上一点A（2，4），

（l）设圆N与z轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程;

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程;

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得ATPQ是平行四边形，求实数t的取值范围.

審题突破 通过审题，我们发现题（l）就是求圆的方程，题（2）是求直线方程，都可用前两种审题方法迅速解决.

例4结合多变量问题的背景，都是将原问题转化为圆与圆的位置关系来解决.对于这类有章法可循的解析几何问题，多掌握几种解题“套路”一定是不错的，

万事开头难，审题作为解题的第一个环节，非常关键.在面对一道解析几何问题时，我们要善于审视题目中的关键条件，根据具体情境采用多种审题策略，找到解题的突破口，在得到最终结论后，还要注意进行再次审题，防止出现条件理解错误、答案图形与题意不符等情况，这样可以最大程度地减少错误和遗漏.