平行线为啥不相交

朱适宜 摘编

（摘编者单位：江苏省淮安外国语学校）

我们先来看看苏联作家A·库尔良茨基发表在1981年第1期《苏联文艺》上的小说《公理》：

老师离开黑板，抖了抖手上的粉笔灰说：“现在请大家作笔记——平行的两条直线，任意加以延长，永不相交.”

学生们低下头在本子上写着.

“西多罗夫，你为什么不记呢？”

“我在想.”

“想什么呢？”

“为什么它们不会相交呢？”

“为什么？我不是已经讲过，因为它们是平行的呀.”

“那么，要是把它们延长到一千米，也不会相交吗？”

“当然啦.”

“要是延长到两千米呢？”

“也不会相交的.”

“要是延长到五千千米，它们就会相交了吧？”

“不会的.”

“有人试验过吗？”

“这道理本来就很清楚，用不着试验，因为这是一条公理.谢苗诺夫，你说说，什么叫公理？”

一个戴着眼镜，态度认真的男孩子从旁边座位上站起来答道：“公理就是不需要证明的真理.”

“对，谢苗诺夫，”老师说，“坐下吧……现在你明白了吧？”

“这我懂的，就是不懂为什么它们不会相交.”

“就因为这是一条公理，是不需要证明的真理呀.”

“那么，不论什么定理都可以叫做公理，就也都用不着加以证明了？”

“不是任何一条定理都可以叫做公理.”

“那为什么这一条定理就可以叫做公理呢？”

“咳，你多固执啊……”

“要是定理，就需要证明了吧？”

“那是需要的.可我们现在说的是公理.”

“为什么是公理呢？”

“因为这是欧几里得说的.”

“要是他说错了呢？”

“你大概以为欧几里得比你还要蠢吧？”

“不，我并不这样认为.”

“那为什么你还要强辩呢？”

“我没有强辩.我只是在想，为什么两条平行直线不能相交.”

“因为它们不会相交，也不可能相交.整个几何学就是建立在这个基础上的.”

“这么说，只要两条平行直线一相交，整个几何学就不能成立了？”

“那当然，但它们终究不会相交……”

读完这个绕人的故事，同学们是不是也深有同感：为什么不能相交呢？我们先来看看究竟什么是公理呢？

在欧几里得之前，人们已经积累了大量的几何知识，包括各种计算公式和作图方法等.严格说来，这些知识只能算是实践经验，需要去粗取精、去伪存真，由此及彼、由表及里.这一系统化的工作最后由欧几里得完成了.他选用了一些人们在长期实践中总结出来的公认命题作为原始依据，称之为公理，由此建立起几何学的大厦.

欧几里得在他的超级畅销书《几何原本》里，一开始就提出了5条公设.前4条公设分别为：

1.由任意一点到另外任意一点可作直线.

2.一条有限直线可以继续延长.

3.以任意点为圆心及任意的距离可以画圆.

4.凡直角都彼此相等.

第五公设则异常复杂：同平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两个直角的和，则这两条直线在不断延伸后会在这一侧相交.

显然，第五公设和前4个公设比较起来，文字叙述冗长，不够简洁明了.细心的数学家还注意到，欧几里得在《几何原本》中直到第29个命题才用到它.是不是欧几里得本人也觉得这一公设有问题呢？

数学家发现了很多第五公设的等价命题.最著名的要数苏格兰数学家普莱费尔提出的平行公设：给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行.于是数学家也常把第五公设称为平行公设.

欧几里得所谓的公理是没有经过证明的.为什么欧几里得不证明这些公理，使之看起来更可信呢？原因很简单，公理根本无法证明！后面的定理需要用前面的定理来证明，前面的定理需要用更前面的定理来证明，那么最前面的定理如何证明呢？万事万物总得有个开头吧！于是便有了最开始的那几条基本规律，也就是所谓的公理.

两千多年间，数学家对公理的看法有了巨大变化，也取得了基本的一致：公理是不必证明的命题.非欧几何的创立让数学家可以探索任何可能的问题，建构任何可能的公理体系，理论数学从此得到了空前的发展.