在观察与辨析中掌握间隔排列的规律

吴志花

[摘 要]“植树问题”是小学数学中的经典问题，也是数学“盈亏持平”思想的雏形。但是，“植树问题”中有一个教学难点就是间隔数，学生很难理解其中的排列规律，于是“间隔排列”作为一个单独的学科章节应运而生。

[关键词]观察；辨析；间隔排列；规律

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2018）33-0033-01

“间隔排列”的教学旨在使学生能够联系实际生活，借助生活经验，掌握不同物体间隔排列的规律，并能运用规律解决问题，提升和发展学生的观察能力、对比能力、归纳能力。那么，数学课堂中，教师应如何引导学生发现和掌握间隔排列的规律呢？

一、理解本质，描述特征

首先，让学生画图体验间隔。课上，教师通过课件出示△○△○△○，让学生猜测下一个出现的图標，学生很容易猜出下一个图标是三角形。随即，课件动画呈现△，教师接着让学生猜测，学生回答“下一个图标是圆”……学生不断地猜测下去，教师启发学生思考“为什么都能猜对？依据是什么”，于是学生开始总结规律。在学生说出规律后，教师揭示这节课学习的课题。练习环节，教师让学生按照自己的思路独立画图，然后展示部分学生的作业，全班评议。最后，教师让学生阐述自己的思路。有的说，三角形和圆依次轮流交替出现，以此类推；有的说，将一个三角形和一个圆视为一个整体，不断复制粘贴下去；还有的说……教师肯定学生的思路，正式提出间隔排列的概念。这里，教师以学生熟悉的图形切入教学，引导学生在猜想中感知排列规律，使学生深入理解并应用规律。

其次，出示图示（如右），引导学生在分类比较中感知间隔。教师让学生先将六幅作品分为两类，再在小组中研讨分类标准。有的小组把图（3）（5）（6）分为一类，将图（1）（2）（4）分为一类，分类理由如下：图（3）（5）（6）是将一个三角形和一个圆视为一个组合体；图（1）（2）（4）为一个一个间隔排列，最后还多出一个三角形。也有的小组提出按组合体复制法考虑，即将六幅作品分为有零件和没零件两类。还有的小组提出不同的分类标准：将图（1）（2）（4）分为一类，这一类以三角形收尾，与起头图案相同；将图（3）（5）（6）分为一类，这一类以圆收尾，与起头图案不同。教师趁机提出首尾对应的方法，即按照这种方法间隔排列，首尾可以相同，也可以相异。

二、理清关系，提炼规律

教师出示情境图（略），让学生在兔子乐园里找出一一间隔排列的物体，然后通过小组合作探究它们的类型。学生发现兔子和蘑菇、木桩和篱笆是首尾相同的一一间隔排列，于是先研究间隔排列中两种物体数量的多少，很明显，首尾同时出现的物体要比夹在中间的物体多1个。然后教师提出进行实践验证，让学生比较兔子与蘑菇、木桩与篱笆的数目。通过清点，学生发现木桩有13根，篱笆有12块，兔子有8只，蘑菇有7朵。这时有学生提出可以运用组合法进行组合清数，即先将一根木桩和一块篱笆连在一起进行数数，数到最后只剩下一根单独的木桩；再将一只兔子和一朵蘑菇进行组合数数，数到最后只剩下一只兔子。举例验证时，教师引导学生采用不同的方法，使学生明晰不同的方法和不同的思路之间可以彼此验证、互相启迪。接下来，教师通过大量的实例来验证猜想的正确性，然后让学生按照相同的方法验证间隔排列中首尾不同的情况。在探究规律、建模验证的过程中，学生对“一对一交替间隔，首尾相同”的情况进行猜想、举例、验证，发现这种研究方法还可以运用到“一对一交替间隔，首尾不同”的情况，使学生体会到数学的严密性。

三、实践体会，学以致用

课堂上，教师先让学生寻找生活中一一间隔排列的物体，并比较两种排列物的数量，如课桌椅是一一间隔排列的，即首尾相异，数量相等。然后教师让若干名学生站成一排，即排成一一间隔的队形，并邀请四名男生和三名女生排成一列，即每两名男生中间站一名女生。通过亲身实践，使学生明白这样的队形就是一一间隔排列，即男女生间隔。此时，学生发现男生比女生多一名，也就是队头和队尾都是男生，男生人数比女生人数多1名。接下来转换类型，研究间隔排列中首尾相异的情况。教师要求学生站成的队列要保证首尾有一名男生和一名女生，并请旁边观摩的学生提出方案。学生提出以下方案：（1）♂♀♂♀♂♀♂♀……（2）♀♂♀♂♀♂♀♂……然后教师进行变式拓展（如右图），只限定男女生一一间隔排列，让学生提出新方案。这种隐藏首尾的圆周一一间隔排列，其数目对比情况与首尾不同的一一间隔排列相同。这样教学，使学生在轻松活泼的游戏活动中讨论、验证首尾相同与首尾不同的两种类型，经历了“直线排列”到“圆周排列”的演化过程，在形式的区别中寻找到规律的统一性。

综上所述，教学“植树问题”时，教师还可以引导学生学会从不同角度分析和探究排列的规律，以及通过排列的变式——圆周排列，使学生深入理解和掌握间隔排列的本质。

（责编 杜 华）