从代数式运算角度看数学问题

摘 要 初中数学中代数式运算看似是一种形式运算，实际它在一定程度上可以简化计算，也可通过运算看清问题本质，甚至可以把问题一般化，从而把问题推广，本文通过具体实例展示从代数式运算看数学问题。

关键词 代数式运算；数学问题

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）10-0072-01

问题一：两位数相乘，十位相同，个位相加等于10。

例如：14×16=224；13×17=221；22×28=616；35×35=1225

上式运算规律屡见不鲜。笔者从代数式运算角度加以说明。

解：假设被乘数与乘数十位都是x，个位分别是y和z，则（10x+y）（10x+z）=100x（x+1）+yx，yz就是被乘数与乘数的个位的乘积，100x（x+1）表示x（x+1）落在百位位置。那么当个位相加不足十或超过十如何处理，现假设y+z-10=m（m≠0），则（10x+y）（10x+z）=100x（x+1）+yz+100xm

如何看上述代数运算，例如26×27，则x=2，y=6，z=7，m=3。我们同样运用上述规律6×7=42，2×3=6，结果642，但是还要加100xm=10×2×3=60，所以最终结果642+60=702。

那么对于三位数乘以三位数，百位数相等，去掉百位数后两数相加等于100。例如234×266。运算规律为34×66=2244，2×3=6，结果为234×266=62244，代数运算原理同上。

数与数的运算在很多情况下都有简便快速的运算方法，在小学就经常训练简便运算，甚至有很多书籍专门介绍简便运算，究其原理，大多可以从代数运算层面解释。

问题二：

当然此类问题是高中数列中求和问题，在初中数学竞赛中可能出现，可从代数运算角度思考。

解：因为 所以

本题先从代数式运算出发，通过运算完美地开方，关键开方后实现裂项相消，从上述解答来看，已对问题作了推广。

问题三：当 ， ，代数式 的值是多少？

解： ，代入a，b的值，则原式

在初中阶段，代数式求值运算是一类常见的题型，如果直接代数运算，求解过程将显得复杂、粗心的话还将陷入绝境，若通过代数运算先把代数式化简，再代数，才能真正实现拨云见雾，给人一种柳暗花明的感觉。

问题四：求解方程： 。

解：因为此方程为倒数方程且x=0不是方程的解。方程两边同时x2得 ，整理得

设 ，则 ，原方程化为y2+y-6=0，解得y=2或y=-3。当y=2时，解得x=1；当y=-3时，解得 或 。

上述方程从结构上看是一元四次方程，但通过代数运算和换元之后变成一元二次方程，问题变得清晰明了。初中阶段绝大部分无从下手的方程基本都是熟悉的陌生人，通过代数运算，往往“原形毕露”。

问题五：魔术师的数学：魔术师让观众任意写一个四位数（四个数字不要都相同），然后用这四位数的四个数字再随意组成另外一个四位数，接着两四位数相减（大数减小数），最后让观众心中记住所得差中的任意一位数字，把剩下数告诉你魔术师。例如：四位数一：8745；调序后四位数二：4758；相减得3987；心中记住：7；余下的告诉魔术师：398；那么魔术师怎么能猜透你心中的7呢？代数原理如下：

假设四位数为 ，不妨调一下顺序 ，那么abcd-dcba=9（111a+

10b-10c-111d）

可见结果必为9的倍数，那么其各位数字之和也是9的倍数，魔术师就是抓住此必然规律。

数学魔术蕴含必然的数学规律，需转化为数学问题，而此时的数学问题往往是代数问题，通过对代数问题的分析，抽丝剥茧，才能揭开魔术的神秘面纱。

教学反思。初中代数式运算贯穿数与式的运算、方程与不等式求解、函数问题，帮助学生从数量关系角度准确清晰地认识、描述以及理解现实世界。但是如果只追求代数式运算的科学性和系统性，过分追求“形式化”，忽略其与生活的联系和应用价值，这将使学生丧失学习兴趣，本文通过代数式运算角度阐述数学问题的解答，寻求解答规律，展示其原理，一定程度上让学习感受到代数式运算的实用性，加强学生对所学知识的理解。实际上，初中教学不应停留在传授数学知识层面，应让学生学会数学的思考，用数学的眼光探索数学知识的联系，甚至看清世界。

参考文献：

[1]李龙.竞赛中代数式求值问题的常用解法[J].数理化学习，2018（1）：8-11.

[2]刘明伟.巧求代数式的值[J].语数外学习，2012（1）：43-44.

[3]黄格群.换元法在初中数学中的应用[J].学练研究，2018（2）：68.

作者简介：程足根（1967-），男，江西南昌，学历：本科，职称：中学一级教师，研究方向：代數数论。