应用化归思想，助力解决数学函数问题

江苏省姜堰中学 周 鹏

化归思想是一种有效的解题策略，简单来说，所有将问题由难变易的过程都可以称为化归，它在学生学习数学的过程中能够发挥很重要的作用。函数是许多学生较为薄弱的一部分内容，但是它在高中数学中占有很大的比重，和其他部分知识的联系也十分紧密，可以说，只有掌握了函数知识，才能真正学好数学。因此，对于函数的教学，教师更要多加重视，积极引导学生学会应用化归思想，将复杂的函数问题简单化，提升解题能力。

一、正面反面化归，改变方向

正面和反面是既有矛盾又有联系的两个方面，当遇到一些正面求解较为困难的题目时，不妨转换思路，改变解题方向，试着求一求问题的反面，往往能够减少许多计算量，使得问题变得更加容易解决。

在函数零点这一部分经常会有已知零点个数，要求参数取值范围的问题，比如：若函数f（x）=x²-2ax+2在区间[0，4]上至少有一个零点，求实数a的取值范围。在拿到这道问题时，许多学生都会下意识地根据题目中存在零点的条件进行求解，但是由于至少一个零点就意味着可能有一个或两个，同时由于a的存在导致对称轴无法确定，还有一个区间范围的限制，这些因素都可能会导致学生在求解过程中出现错误，并且使得解题过程十分复杂。因此，不如引导学生试着从没有零点这个反面情况考虑，函数在[0,4]上没有零点，即没有实数根，转化为数学语言就是x²-2ax+2≠0，即观察这个式子的结构，很容易联想到所以说也即当时，方程才没有实根。而题目条件是至少有一个零点，即要求的是方程有实根时a的范围，所以结果应为从这个例子中可以看出，对于含有“至少”这一类字眼的函数问题，要引导学生从反面进行尝试。值得注意的是，最后一定要再回到题目中去，回答真正的问题。

二、常量变量化归，减少变元

许多函数问题中经常会伴随参数的出现，也就意味着要区分开哪个是常量，哪个是变量。对于这一类的问题，可以将常量和变量进行互换，把函数中的参数变成主元，帮助减少不定因素，使得问题更加容易求解。

例如有这样一道有代表性的例题：当|k|≤1时，不等式（lgx）²-（2+`k）lgx+k-1＞0恒成立，求x的取值范围。在这道题目中，不等式是关于x的式子，k是其中的参数，即x是变量，而k为常量，相比于将函数变为关于lgx的函数，观察式子不难看出，倘若将其变为关于k的式子，则是一个一次函数，且题目中还给出了k的范围，显然一次函数更加简单。因此，题目就变成了：当|k|≤1时，不等式 f（k）=（1-lgx）k+[（lgx）²-2lgx-1]＞0 恒成立，求 x 的取值范围。这样，k就变成了函数中的变量，而x则变为常量，即实现了变量和常量的互化。问题简单了，对于一次函数而言，只能增或减，再者不变，因此，想要在|k|≤1的范围内让f（k）＞0，只需要让f（-1）＞0 和f（1）＞0即可，问题就迎刃而解了。回顾这道题目，学生更容易想到的思路是生成一个新的变量来代替lgx，然后将其变成一个二次函数，这种方法虽然也可行，但是增加了一个未知的量，意味着求解过程将会变得更加复杂，学生会更加容易出现混乱，因此，如何将变元减少才是应该考虑的方向，这也是教师需要引导学生学会的一个重要解题思路。

三、特殊一般化归，捕获规律

特殊和一般的思想也是数学中经常存在的一种思想，一般规律的发展往往是从特殊问题引发而来的，而一般的结论在特殊条件下也可以成立，这个相互转化的过程应用在解题中，也可以帮助解决一系列函数问题。

以函数性质的教学为例，经常会遇到这样的题目：函数f（x）在R上任意可导，若（x-2）f’（x）≥0成立，则f（1）+f（3）和2f（2）之间有什么关系？观察问题，f（1）、f（3）和f（2）都是指具体的函数值，学生看到这种要求函数值的问题，经常会先想到要求出函数的表达式。这种思路是万万不可取的，一般对于这种类型的题目，很难直接得出函数具体的式子，但是我们可以分析出函数的性质。在这道题目中，根据（x-2）f’（x）≥0这个不等关系可以很容易地推导出：当x≥2时，f’（x）≥0；当x＜2时，f’（x）＜0，翻译在图像上就意味着：当x＞2时，函数图像递增；当x＜2时，函数图像递减；当x=2时，函数能够取得最小值。根据这个规律可得f（1）≥f（2），f（3）≥f（2），所以f（1）+f（3）≥2f（2）。这就是一个简单的利用一般规律来求解特殊值的例子，其中分析出的函数的单调性就是根据题目信息得到的一般规律。也就是说，在面对许多无法直接求出函数表达式的问题时，都需要学会分析函数性质来解决问题，同样的，在遇到需要求解函数一般表达式的问题时，也要学会利用特殊值代入的方法进行解答。

四、相等不等化归，建立关系

相等和不等也是数学中常出现的两种对立关系，在函数问题中经常出现不等或相等关系，那么充分利用这些关系，并学会将其互相转化，在问题和条件中建立一定的关系，也能够帮助找到问题的突破口。

例如这道题目：定义在R上的函数f（x）对任意实数x都有f（x+3）≤ f（x）+3和f（x+2）≥ f（x）+2，且 f（1）=1,求 f（2003）的值。在拿到题目时，学生往往看到2003就不知如何下手了，但是其实这一类问题很简单，题目让求的是当x=2003时，f（x）的值，但是条件却给的是两个不等关系，所以，不如利用f（2003）所存在的不等关系进行求解。根据第一个不等式可以列出式子：f（2003）≤f（2000）+3≤f（1997）+3+3≤…≤f（2）+2001，同样根据第二个不等式也可以得出：f（2003）≥f（2001）+2≥f（1999）+2+2≥…≥f（1）+2002。将这两个不等式合并之后可以得到一个最终的不等关系：f（1）+2002≤f（2003）≤f（2）+2001，因此，只需要知道 f（1）和 f（2）的值，就可以知道f（2003）的范围，题目中已给出f（1）=1，所以仅求出f（2）即可。在求解时，要对题目信息进行充分的利用，分别让x=1,0和-1，并代入这两个不等关系中，最终可以求出f（2）=2，所以，2003≤f（2003）≤2003，即f（2003）=2003。函数问题中经常会出现这种求函数值的问题，许多学生看到x的值很大，就会产生害怕心理，不敢继续做下去，所以，教师要引导学生不要胆怯，类似f（2003）的式子最终都会根据不等关系而转化为求一个像f（2）一样的式子，很轻易地就能够得到结果。

函数问题千变万化，但是万变不离其宗。只要能够正确判断出题目的类型和解决这类题目的化归方法，所有问题就都会变得简单而有趣。因此在课堂上，教师应充分运用化归思想，不断重复，建立学生学会用转化方法解决问题的意识，再配合不断的练习，真正实现函数问题上的突破。